Để chứng minh tứ giác AFDH là hình bình hành, ta sẽ lần lượt làm các bước dưới đây:

**Bước 1: Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.**

Ta đã biết rằng tam giác ABC vuông tại A, với AH là đường cao từ A xuống cạnh BC. Từ A hạ các đường vuông góc HD và HE, với D thuộc cạnh AB và E thuộc cạnh AC.

Theorem: Trong tam giác vuông, đường cao từ đỉnh của tam giác làm ra các tỉ số bằng nhau:
- AH^2 = AD * AB.
- AH^2 = AE * AC.

Vì HD // AC và HE // AB, nên ADHE là hình chữ nhật.

Chứng minh:
- AD // HE thì AD vuông góc với HE.
- AD = HE (vì AD được chiếu xuống từ một điểm cao AH).
- Tương tự, AE vuông góc với HD.

Kết luận: ADHE là hình chữ nhật.

**Bước 2: Chứng minh tứ giác AFDH là hình bình hành.**

Từ bước 1, ta đã chứng minh được rằng ADHE là hình chữ nhật. Hình chữ nhật có các tính chất đặc trưng như:
- Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Các góc đều bằng 90 độ.

Với tứ giác AFDH:
- Theo đề bài, F là một điểm trên tia đối của AC sao cho AF = AE.
- AE = AD (vì hình chữ nhật).

Thế nên:

1. AF = AE = AD.
2. Vì AD // HE và AF // DE (F là điểm trên tia đối của AC), do đó các cặp cạnh AD và FH, AF và DH là các cặp cạnh đối diện của tứ giác AFDH.

Theo đó, ta có:
- AF // DH (từ F nằm trên tia đối của AC).
- AD // FH.

Vậy do tính chất của tứ giác, ta có:
\[ AD = FH \text{ và } AF = DH. \]

Như vậy, tứ giác AFDH có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song với nhau.

Vì vậy, tứ giác AFDH là hình bình hành.

**Kết luận:** Tứ giác AFDH là hình bình hành.