Trong tam giác ABC với G là trọng tâm, ta có mối quan hệ giữa các đoạn thẳng như sau:

Khi kẻ đường thẳng qua G cắt AB tại D và AC tại E, ta có thể xác định rằng:

- \( AG : GD = 2:1 \) (do G là trọng tâm).
- Tương tự, \( BG : GE = 2:1 \).

Ta có thể áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với các điểm D trên AB và E trên AC để tính giá trị biểu thức \(\frac{AB}{AD} + \frac{AC}{AE}\).

Theo định lý Menelaus, ta có:

\[
\frac{AB}{AD} \cdot \frac{DE}{BC} \cdot \frac{CA}{AE} = 1
\]

Tuy nhiên, một cách đơn giản hơn là từ mối quan hệ phía trên, ta thấy:

\[
\frac{AB}{AD} = \frac{BG + GD}{GD} = \frac{BG + \frac{1}{2}AG}{\frac{1}{2}AG} = \frac{3AG}{1AG} = 3
\]

Và tương tự,

\[
\frac{AC}{AE} = \frac{CG + GE}{GE} = \frac{CG + \frac{1}{2}AG}{\frac{1}{2}AG} = \frac{3AG}{1AG} = 3
\]

Do đó, giá trị của biểu thức sẽ là:

\[
\frac{AB}{AD} + \frac{AC}{AE} = 3 + 3 = 6
\]

Vậy kết quả biểu thức \(\frac{AB}{AD} + \frac{AC}{AE} = 6\).