Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta cần làm rõ một số giả thiết và suy luận theo từng phần. Chúng ta sẽ tiến hành hai phần.

### a) Chứng minh 4 giác ADMC là hình thang vuông

1. **Giả thiết**: Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \). \( M \) là trung điểm của \( BC \).
2. Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có: \( MB = MC \).
3. \( MD \) vuông góc với \( AB \) suy ra \( MD \perp AB \).
4. Xét tứ giác \( ADMC \), ta chứng minh \( AD \parallel MC \) và \( AD \perp MD \).

- Bởi lẽ \( AB = AC \) (do tam giác cân), nên \( AD \perp AB \) cũng đồng nghĩa với việc \( AD \perp MD \) và do đó \( AD \) vuông góc với cả chiều cao từ \( M \).

- Xét tam giác \( MBC \):
- Ta có \( MB = MC \) (vì \( M \) là trung điểm).
- Từ tính chất của tam giác cân và kẻ vuông góc ta có: \( \angle AMD = \angle CMD = 90^\circ \).

5. Do đó, bốn điểm \( A, D, M, C \) tạo thành một hình thang vuông tại \( D \) và \( M \).

Giả thiết đã cho và các suy luận trên cho phép chúng ta kết luận rằng tứ giác \( ADMC \) là hình thang vuông.

### b) Vẽ E đối xứng M qua D, chứng minh tứ giác ACME là hình bình hành

1. **Vẽ điểm \( E \)** là điểm đối xứng với \( M \) qua điểm \( D \). Theo định nghĩa, \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( ME \).
2. Do \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( ME \) nên ta có \( MD = DE \).
3. Lại có \( MD \perp AB \) và \( DE \perp AC \) do tính đối xứng và tam giác đều của \( ABC \).

Như vậy, chúng ta có:

- Với \( AC \) là cạnh của tam giác cân \( ABC \), và \( MD = DE \), suy ra \( AC \) song song với \( ME \).
- Do \( M \) và \( E \) có các khoảng cách bằng nhau và cùng chiều, do đó \( AE = CD \).

Kết hợp tất cả các kết luận trên, ta có \( AC \parallel ME \) và \( AE = CD \) suy ra tứ giác \( ACME \) là hình bình hành (vì các cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau).

### Kết luận
- Ta đã chứng minh rằng tứ giác \( ADMC \) là hình thang vuông và tứ giác \( ACME \) là hình bình hành theo những lý luận và định nghĩa hình học cơ bản của các tứ giác trong tam giác. Các bước và suy luận trên là hợp lý theo tính chất của hình học.