Cho đoạn thẳng BC cố định. Điểm A di chuyển sao cho góc BAC luôn luôn bẳng 60 độ

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số định lý hình học và các tính chất của các tam giác, các đường thẳng song song, cũng như các định lý về hình chiếu.

1. **Chứng minh rằng \( AE \cdot AK = 2 \) **

Để chứng minh điều này, bạn có thể sử dụng định lý về tỉ lệ đường cắt. Đoạn thẳng \( (d) \) song song với \( BC \) tạo ra các tam giác đồng dạng. Tam giác \( AEF \) và tam giác \( AKD \) là đồng dạng vì \( AD \) và \( (d) \) song song với nhau. Theo định lý tỉ lệ, chúng ta có:
\[
\frac{AE}{AK} = \frac{AF}{AD}
\]
Do đó, \( AE \cdot AK = AF \cdot AD \). Bạn cần thêm thông tin cụ thể để hoàn thiện chứng minh và xác định tỉ số này.

2. **Chứng minh rằng \( EM = MN \)**

Vì \( EM \parallel BC \) và \( MN \parallel BC \), \( EMN \) tạo thành hình thang. Định lý đường chéo của hình thang sẽ chỉ ra rằng \( EM = MN \) dựa trên các cặp hình chiếu vuông góc mà bạn đã thiết lập từ đầu.

3. **Tìm vị trí của A để diện tích tam giác OPQ nhỏ nhất**

Để xác định vị trí của \( A \) sao cho diện tích của tam giác \( OPQ \) nhỏ nhất, bạn cần tính diện tích tam giác \( OPQ \). Diện tích của tam giác có thể được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h
\]
trong đó \( b \) là độ dài cạnh đáy (cạnh \( PQ \)) và \( h \) là chiều cao từ \( O \).

Để giảm diện tích, thay đổi vị trí của \( A \) sẽ ảnh hưởng đến chiều cao và kích thước của cạnh \( PQ \). Việc tối thiểu hóa diện tích sẽ đạt được khi \( O \) nằm trên đoạn thẳng \( BC \) mà bạn đã thiết lập.

Một cách hình học, bạn có thể xác định vị trí của \( A \) bằng cách sử dụng vị trí của \( B \) và \( C \) để đảm bảo rằng diện tích tam giác \( OPQ \) nhỏ nhất.

Tóm lại, bạn có thể bắt đầu bằng cách tính toán xác định các tỉ lệ và kích thước, và sau đó sử dụng các định lý hình học liên quan để chứng minh và tính toán.