Để chứng minh tứ giác BCMN là hình thoi, ta sẽ chứng minh rằng các cặp cạnh đối của tứ giác này có độ dài bằng nhau.

1. **Đặt các điểm:**
- Ta có tam giác ABC vuông tại A, với \( AB = c \) và \( AC = b \).
- Do đó, \( AM = AB = c \) và \( AN = AC = b \).

2. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử tọa độ của các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(c, 0) \)
- \( C(0, b) \)
- Từ cách chọn điểm M và N trên các tia đối:
- M nằm trên tia đối của AB, nên \( M = (-c, 0) \).
- N nằm trên tia đối của AC, nên \( N = (0, -b) \).

3. **Tính độ dài các đoạn thẳng:**
- Tính độ dài \( BC \):
\[
BC = \sqrt{(c - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{c^2 + b^2}
\]
- Tính độ dài \( MN \):
\[
MN = \sqrt{(-c - 0)^2 + (0 - (-b))^2} = \sqrt{c^2 + b^2}
\]

Như vậy, ta có \( BC = MN \).

4. **Tính độ dài các đoạn thẳng còn lại:**
- Tính độ dài \( BM \):
\[
BM = \sqrt{(-c - c)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-2c)^2} = 2c
\]
- Tính độ dài \( CN \):
\[
CN = \sqrt{(0 - 0)^2 + (b - (-b))^2} = \sqrt{(2b)^2} = 2b
\]

Ta cũng tính được các độ dài cần thiết để chứng minh đường chéo:
- Tính độ dài đường chéo \( BN \):
\[
BN = \sqrt{(-c - c)^2 + (0 - (-b))^2} = \sqrt{(-2c)^2 + b^2} = \sqrt{4c^2 + b^2}
\]
- Tính độ dài đường chéo \( CM \):
\[
CM = \sqrt{((-c) - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{c^2 + b^2}
\]

5. **Khép lại chứng minh:**
Tứ giác BCMN có cặp cạnh đối \( BC \) và \( MN \) bằng nhau, và \( BM \) bằng \( CN \).
Vì vậy, ta có tổng quát \( BC = MN \) và \( BM = CN \) nên tứ giác BCMN là hình thoi, vì trong hình thoi thì hai cặp cạnh đối bằng nhau và các góc đối bằng nhau.

Kết luận, tứ giác BCMN là hình thoi.