Cho tam giác abc vuông tại a đường cao ah từ h kẻ hn vuông góc ac HM ⊥ AB (M ∈ AB),

Để chứng minh AMHN là hình chữ nhật và AFMN cũng là hình chữ nhật, ta sẽ phân tích và tính toán theo các bước dưới đây.

**1. Chứng minh AMHN là hình chữ nhật:**

- Để chứng minh AMHN là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh đối diện AM và NH, cũng như AH và MN lần lượt bằng nhau và song song với nhau.

- Theo giả thiết, ta có tam giác ABC vuông tại A. Ta có các điểm:
- H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC.
- N là giao điểm của đường cao AH với AC.
- M là điểm trên AB sao cho HM ⊥ AB.

- Từ việc HM ⊥ AB và NH ⊥ AC, ta có:
- HM // AN
- NH // AM

- Do đó, AM // NH và AH = MN (cùng là chiều cao từ A đến dòng AC và từ H đến dòng AB).

- Kết hợp với việc hình vuông có cạnh đối diện song song và bằng nhau, ta có AMHN là hình chữ nhật.

**2. Chứng minh AFMN là hình chữ nhật:**

- Tương tự như trên, chúng ta cần chứng minh rằng AF và MN là các cạnh đối diện bằng nhau và song song.

- Từ thiế lập trước, ta có NE /// AB và NE = NH (do NH là đường cao).

- Do đó, AF = NH (có cùng chiều dài), AF cũng so le với MN (do đều là những đường thẳng vuông góc).

- Hai cặp cạnh đối diện này là song song và bằng nhau, vì vậy, ta có AFMN cũng là hình chữ nhật.

**3. Tính diện tích của tứ giác AMHN:**

- Chúng ta có thể tính diện tích của AMHN dựa vào chiều dài AM và NH.

- Đặt AB = 3 cm, AC = 4 cm → BC = 5 cm (theo định lý Pythagore).

- Theo tỉ lệ BH/CH = 2/3, ta có:
- BH = (2/5) * BC = (2/5) * 5 = 2 cm
- CH = (3/5) * BC = (3/5) * 5 = 3 cm

- Tính AM và NH:
- Từ tam giác AHM, ta tìm được chiều cao AH.
- AH = AB * CH / AC = 3 * 3/4 = 2.25 cm

- Diện tích AMHN = AM * NH = 2.25 * 2.25 = 5.0625 cm².

Vì vậy, diện tích tứ giác AMHN là 5.0625 cm².