Cho tam giác ABC có AB

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của tam giác và các định nghĩa về hình học.

### a) Chứng minh tam giác AHE = KHE

1. **Điểm số liệu:** Theo giả thiết, chúng ta có:
- AH vuông góc với BC.
- AH = HK (theo đề bài).

2. **Xét tam giác AHE và KHE:**
- Ta thấy rằng AH = HK.
- H là điểm trung gian giữa A và K trên đường thẳng HA.
- H là điểm nằm trên đường thẳng BC.
- E là trung điểm của BC.

3. **Xét các cạnh:**
- Do H thuộc BC nên HE = HE (đối với trung điểm).
- Vậy AE và KE đều có độ dài bằng nhau từ tính chất đối xứng của trung điểm.

4. **Do đó:**
- Ta có AHE = KHE theo quy tắc hai tam giác có một cạnh chung (HE) và hai cạnh còn lại bằng nhau.

### b) Chứng minh AC = BD = CK

1. **Điểm số liệu:** Ta biết rằng D là điểm trên tia đối của EA sao cho ED = EA.

2. **Đối với AC và BD:**
- Trước tiên, vì H thuộc BC và E là trung điểm của BC nên HE = HE.
- Khi D nằm trên tia đối của EA, với khoản cách ED = EA, điều này tạo ra tình huống giống như việc kéo dài đoạn EA sang bên kia.
- Từ đó, dễ dàng nhận thấy rằng báo hiệu AC = BD từ hai đoạn thẳng đều cùng đo.

3. **Đối với CK:**
- Tương tự như trên, CK = HA (bởi vì K cũng nằm trên đoạn thẳng đối với A).
- Hơn nữa, vì HK = HA nên CK cũng bằng cả chiều dài AC.

4. **Kết luận:**
- Từ các mối liên hệ giữa các điểm, chiều dài sẽ đạt đến kết luận:
\[
AC = BD = CK
\]

### Tổng kết:
- Ta đã chứng minh rằng tam giác AHE bằng KHE do tính chất của các đoạn thẳng và định luật hình học, cũng như khẳng định rằng AC, BD, CK đều có độ dài bằng nhau dựa trên các điểm được thiết lập trong bài toán.