Để tính giá trị của biểu thức

\[
S = \frac{3}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{5}{2^2 \cdot 3^2} + \frac{7}{3^2 \cdot 4^2} + \ldots + \frac{19}{9^2 \cdot 10^2},
\]

ta có thể nhận thấy rằng mỗi phần tử của chuỗi có dạng

\[
\frac{2n + 1}{n^2 \cdot (n+1)^2}
\]

với \( n \) từ 1 đến 9.

Chúng ta có thể viết lại biểu thức \( S \) như sau:

\[
S = \sum_{n=1}^{9} \frac{2n + 1}{n^2 (n + 1)^2}.
\]

Tiếp theo, ta sẽ tách phần tử trong tổng:

\[
\frac{2n + 1}{n^2 (n + 1)^2} = \frac{2n}{n^2 (n + 1)^2} + \frac{1}{n^2 (n + 1)^2}.
\]

Bây giờ ta tính tổng cho từng phần.

1. **Tính tổng \( \sum_{n=1}^{9} \frac{2n}{n^2 (n + 1)^2} \)**:
\[
= 2 \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n(n + 1)^2} = 2 \sum_{n=1}^{9} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{n + 1} + \frac{1}{(n + 1)} \right).
\]

2. **Tính tổng \( \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n^2 (n + 1)^2} \)**:
Để tính tổng này, chúng ta có thể sử dụng phân tích từng phần hoặc tìm quy tắc lặp.

Tuy nhiên, để đơn giản, ta có thể dùng phương pháp tính cụ thể giá trị các phần tử rồi tính tổng lại. Ta có thể thêm vào bảng loại như sau:

- \(\frac{3}{1^2 \cdot 2^2} = \frac{3}{4} = 0.75\),
- \(\frac{5}{2^2 \cdot 3^2} = \frac{5}{36} \approx 0.138888...\),
- \(\frac{7}{3^2 \cdot 4^2} = \frac{7}{144} \approx 0.048611\),
- \(\frac{9}{4^2 \cdot 5^2} = \frac{9}{400} = 0.0225\),
- \(\frac{11}{5^2 \cdot 6^2} = \frac{11}{900} \approx 0.012222\),
- \(\frac{13}{6^2 \cdot 7^2} = \frac{13}{1764} \approx 0.007364\),
- \(\frac{15}{7^2 \cdot 8^2} = \frac{15}{3136} \approx 0.004785\),
- \(\frac{17}{8^2 \cdot 9^2} = \frac{17}{5184} \approx 0.003278\),
- \(\frac{19}{9^2 \cdot 10^2} = \frac{19}{8100} \approx 0.002345\).

Cộng tất cả lại, ta có thể tính ra giá trị \( S \).

Cuối cùng, sau khi tính toán, giá trị của biểu thức là:

\[
S \approx 1.0285.
\]

Do đó, giá trị của biểu thức đã cho là khoảng 1.0285.