Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, từ H kẻ HN vuông góc AC, HM ⊥ AB (M ∈ AB)

Để chứng minh rằng tứ giác \( AMHN \) là hình chữ nhật và tứ giác \( AFMN \) là hình bình hành, chúng ta sẽ tiến hành từng bước theo định nghĩa và tính chất của các hình này.

### Bước 1: Chứng minh rằng \( AMHN \) là hình chữ nhật
1. **Xem các cạnh \( AM \) và \( AH \)**:
- Vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), ta có \( AH \perp BC \).
- Do đó, \( AH \perp AM \) (vì \( M \) thuộc \( AB \)).

2. **Chứng minh \( AN \perp AM \)**:
- \( HN \perp AC \) (vì \( HN \) là đường vuông góc từ \( H \) đến \( AC \)).
- Ta có \( AH \perp AC \) (đường cao) nên \( HN \) và \( AM \) cũng vuông góc với nhau.

3. **Tính chất các góc**:
- Ta có \( \angle AMH = 90^\circ \) và \( \angle ANH = 90^\circ \).

4. **Kết luận**:
- Tứ giác \( AMHN \) có 2 cặp góc vuông đối diện, do đó \( AMHN \) là hình chữ nhật.

### Bước 2: Chứng minh rằng \( AFMN \) là hình bình hành
1. **Cách sắp xếp điểm**:
- Lấy \( E \) trên tia đối của \( NH \) sao cho \( NH = NE \).
- Lấy \( F \) trên tia đối của \( MH \) sao cho \( MH = MF \).

2. **Chứng minh cặp cạnh bù nhau**:
- Ta có \( NH \parallel MF \) và bằng nhau (do \( NH = NE \) và \( MH = MF \)).
- Tương tự, \( AM \parallel AF \) và bằng nhau.

### Tính chất hình bình hành:
- Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song:
- \( AF \parallel MN \) (do \( NH \parallel MF \)).
- \( AM \parallel FN \).

1. **Kết luận**:
- Tứ giác \( AFMN \) có 2 cặp cạnh bù nhau song song, do đó \( AFMN \) là hình bình hành.

### Kết luận tổng quát:
- Tứ giác \( AMHN \) là hình chữ nhật và tứ giác \( AFMN \) là hình bình hành như đã chứng minh.

Chúc mừng bạn đã hoàn thành thành công bài toán này!