Để chứng minh \( x \parallel y \) khi biết rằng \( C_2 = \overset{\frown}{D_2} \), ta có thể dựa vào tính chất của các góc liên quan đến hai đường thẳng cắt nhau và cung.

1. **Gọi các góc**:
- Gọi \( B_1 \) là góc ở điểm giao nhau giữa hai đường thẳng \( x \) và \( y \).
- Gọi \( A_1 \) và \( A_2 \) là các góc tạo thành bởi các cung tại điểm \( A \).

2. **Sử dụng định nghĩa về góc đồng vị**:
- Nếu \( C_2 = \overset{\frown}{D_2} \), thì góc ở điểm \( C \) (tức là góc \( A_1 \)) và góc ở điểm \( D \) (góc \( A_2 \)) sẽ liên quan đến nhau thông qua định nghĩa về các góc đồng vị.

3. **Kết luận**:
- Nếu \( A_1 \) và \( A_2 \) là những góc đồng vị, thì \( x \parallel y \) theo định nghĩa về tính song song giữa hai đường thẳng khi các góc đồng vị bằng nhau.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( x \parallel y \) khi \( C_2 = \overset{\frown}{D_2} \).