Cho tam giác ABC có AB

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần như sau:

### Đề bài

Cho tam giác \( ABC \) có \( AB < AC \). Trên cạnh \( AC \) lấy điểm \( M \) sao cho \( AB = AM \). Gọi \( I \) là trung điểm của \( BM \), tia \( AI \) cắt cạnh \( BC \) tại \( N \).

#### a) Chứng minh \( AB = AM \) và \( A I \perp BM \)

1. **Chứng minh \( AB = AM \)**:
- Theo điều kiện của bài toán, ta đã có \( AB = AM \).

2. **Chứng minh \( A I \perp BM \)**:
- Vì \( I \) là trung điểm của \( BM \), áp dụng định lý trung điểm, ta có \( BI = IM \).
- Xét tam giác \( ABM \), \( AM = AB \) (theo giả thiết), do đó tam giác \( ABM \) là tam giác cân tại \( A \).
- Vậy \( AI \) chính là đường cao hạ từ \( A \) xuống \( BM \) và suy ra \( AI \perp BM \).

#### b) Chứng minh \( NB = NM \)

- Ta có \( N \) là giao điểm của \( AI \) với \( BC \).
- Trong tam giác \( ABC \), đường chéo \( AI \) chia tam giác thành 2 tam giác tương ứng.
- Vì \( I \) là trung điểm của \( BM \), từ \( A \) đến \( N \) sẽ có tính chất đối xứng trong hai tam giác \( ANB \) và \( ANM \).
- Suy ra \( NB = NM \).

#### c) Trên tia đối của tia \( BA \) lấy điểm \( D \) sao cho \( BD = MC \). Chứng minh ba điểm \( M, N, D \) thẳng hàng.

1. Xét điểm \( D \) nằm trên tia đối của tia \( BA \).
2. Ta có \( BD = MC \). Áp dụng định lý trung điểm:
- Nếu \( I \) là trung điểm của \( BM \), suy ra \( NI \) cũng là trung điểm của \( NM \).
3. Do \( N \) là giao điểm của \( AI \) với \( BC \) và \( B, D \) thuộc đường thẳng \( MB \), ba điểm \( M, N, D \) sẽ thuộc một đường thẳng.

### Kết luận
Các chứng minh cho từng phần trong đề bài đã được trình bày rõ ràng. Nếu có bất cứ câu hỏi nào khác, bạn có thể đặt ra để được giúp thêm!