Để tìm số tự nhiên \( a \) thỏa mãn các điều kiện \( a \equiv 2 \mod 3 \), \( a \equiv 3 \mod 5 \), và \( a \equiv 4 \mod 7 \), ta sẽ sử dụng phương pháp tháp đồng dư (Chinese Remainder Theorem).

1. Ta viết lại các điều kiện:

- \( a \equiv 2 \mod 3 \)
- \( a \equiv 3 \mod 5 \)
- \( a \equiv 4 \mod 7 \)

2. Bước đầu tiên là giải hai điều kiện đầu tiên:

- Từ \( a \equiv 2 \mod 3 \), ta có thể viết \( a = 3k + 2 \) với \( k \) là một số nguyên.

- Thay vào điều kiện thứ hai \( a \equiv 3 \mod 5 \):

\[
3k + 2 \equiv 3 \mod 5
\]
\[
3k \equiv 1 \mod 5
\]

- Giải phương trình này, ta tìm được rằng \( k \equiv 2 \mod 5 \) (vì \( 3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 \mod 5 \)).

- Do đó, ta có thể viết lại \( k \) như sau:

\[
k = 5m + 2
\]

- Thay vào biểu thức cho \( a \):

\[
a = 3(5m + 2) + 2 = 15m + 6 + 2 = 15m + 8
\]

- Vậy có được \( a \equiv 8 \mod 15 \).

3. Bây giờ, ta sẽ kết hợp điều kiện này với điều kiện thứ ba:

- Từ đó, ta chỉ cần giải hệ:
- \( a \equiv 8 \mod 15 \)
- \( a \equiv 4 \mod 7 \)

- Viết lại \( a \):

\[
a = 15n + 8
\]
- Thay vào điều kiện \( a \equiv 4 \mod 7 \):

\[
15n + 8 \equiv 4 \mod 7
\]
\[
15n \equiv -4 + 8 \mod 7
\]
\[
15n \equiv 4 \mod 7
\]

- Vì \( 15 \equiv 1 \mod 7 \), ta có:

\[
n \equiv 4 \mod 7
\]

- Vậy \( n = 7p + 4 \).

4. Kết hợp lại vào \( a \):

\[
a = 15(7p + 4) + 8 = 105p + 60 + 8 = 105p + 68
\]

Vậy số dư của \( a \) khi chia cho 105 là:

\[
a \equiv 68 \mod 105
\]

Do đó, số dư của \( a \) khi chia cho 105 là:
\[
\boxed{68}
\]