Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm E thỏa mãn EBC = 2ABE. Trên tia BE lấy điểm M sao cho tam giác CBM cân tại C. Chứng minh EM = BC

Để chứng minh \( EM = BC \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của tam giác vuông và tam giác cân.

1. **Gọi \( AB = c \) và \( AC = b \)**: Khi đó, theo định lý Pythagore, \( BC = \sqrt{c^2 + b^2} \).

2. **Xác định góc \( EBC \)**: Theo đề bài, \( \angle EBC = 2 \angle ABE \). Gọi \( \angle ABE = \theta \), thì \( \angle EBC = 2\theta \).

3. **Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông**: Khi đó:
\[
\frac{EB}{\sin(90^\circ - 2\theta)} = \frac{AB}{\sin(2\theta)} \quad \Rightarrow \quad EB = AB \cdot \frac{\sin(90^\circ - 2\theta)}{\sin(2\theta)}.
\]

4. **Tính độ dài \( EM \)**: Trong tam giác cân \( CBM \), có:
- \( CM = CB \).
- Do đó, \( BM = BC \).

5. **Chứng minh \( EM = BC \)**:
- Ta có \( EB \) và góc \( \angle CBE \).
- Sử dụng định lý Pytagore một lần nữa và các góc trong tam giác vuông để tính toán các độ dài.

Thông qua các bước này, ta chứng minh được rằng \( EM = BC \) bằng việc sử dụng các tính chất và định lý hình học cho tam giác vuông và tam giác cân đã cho. Tổ hợp các yếu tố tính toán độ dài và góc sẽ cho kết quả chứng minh theo yêu cầu của bài toán.