Để tìm các giá trị \( n \) thuộc tập số nguyên \( \mathbb{Z} \) sao cho biểu thức \( 16n^4 - 57n^2 + 9 \) là số nguyên tố, ta đặt:

\[
P(n) = 16n^4 - 57n^2 + 9
\]

Thay \( n \) là các giá trị nguyên khác nhau để tính \( P(n) \) và kiểm tra xem nó có phải là số nguyên tố hay không. Cách tiếp cận có thể là thử nghiệm với các giá trị nhỏ của \( n \).

1. **Thử \( n = 0 \)**:
\[
P(0) = 16(0)^4 - 57(0)^2 + 9 = 9 \quad (\text{không phải là số nguyên tố})
\]

2. **Thử \( n = 1 \)**:
\[
P(1) = 16(1)^4 - 57(1)^2 + 9 = 16 - 57 + 9 = -32 \quad (\text{không phải là số nguyên tố})
\]

3. **Thử \( n = -1 \)**:
\[
P(-1) = 16(-1)^4 - 57(-1)^2 + 9 = 16 - 57 + 9 = -32 \quad (\text{không phải là số nguyên tố})
\]

4. **Thử \( n = 2 \)**:
\[
P(2) = 16(2)^4 - 57(2)^2 + 9 = 16 \cdot 16 - 57 \cdot 4 + 9 = 256 - 228 + 9 = 37 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

5. **Thử \( n = -2 \)**:
\[
P(-2) = 16(-2)^4 - 57(-2)^2 + 9 = 16 \cdot 16 - 57 \cdot 4 + 9 = 256 - 228 + 9 = 37 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

6. **Thử \( n = 3 \)**:
\[
P(3) = 16(3)^4 - 57(3)^2 + 9 = 16 \cdot 81 - 57 \cdot 9 + 9 = 1296 - 513 + 9 = 792 \quad (\text{không phải là số nguyên tố})
\]

7. **Thử \( n = -3 \)**:
\[
P(-3) = 16(-3)^4 - 57(-3)^2 + 9 = 16 \cdot 81 - 57 \cdot 9 + 9 = 1296 - 513 + 9 = 792 \quad (\text{không phải là số nguyên tố})
\]

8. **Thử \( n = 4 \)**:
\[
P(4) = 16(4)^4 - 57(4)^2 + 9 = 16 \cdot 256 - 57 \cdot 16 + 9 = 4096 - 912 + 9 = 3193 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

9. **Thử \( n = -4 \)**:
\[
P(-4) = 16(-4)^4 - 57(-4)^2 + 9 = 16 \cdot 256 - 57 \cdot 16 + 9 = 4096 - 912 + 9 = 3193 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

Từ những phép thử trên, ta tìm thấy rằng \( n = 2 \), \( n = -2 \), \( n = 4 \), và \( n = -4 \) đều cho ra giá trị \( P(n) \) là số nguyên tố.

Tổng hợp lại, các giá trị \( n \) thuộc \( \mathbb{Z} \) sao cho \( 16n^4 - 57n^2 + 9 \) là số nguyên tố là:

\[
n = \pm 2, \pm 4
\]