Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### a. Tìm \( n \in \mathbb{Z} \) để \( n^4 + 4 \) là số nguyên tố

Ta có thể viết lại biểu thức \( n^4 + 4 \) như sau:

\[
n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2
\]

Theo cách phân tích trên, ta áp dụng định lý về hiệu hai bình phương:

\[
n^4 + 4 = (n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n) = (n^2 - 2n + 2)(n^2 + 2 + 2n)
\]

Để \( n^4 + 4 \) là số nguyên tố, một trong hai thừa số phải bằng 1. Ta xét từng trường hợp:

1. **Trường hợp 1:** \( n^2 - 2n + 2 = 1 \)

Giải phương trình:
\[
n^2 - 2n + 2 - 1 = 0 \implies n^2 - 2n + 1 = 0 \implies (n - 1)^2 = 0 \implies n = 1
\]
Khi \( n = 1 \):
\[
n^4 + 4 = 1^4 + 4 = 5 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

2. **Trường hợp 2:** \( n^2 + 2 + 2n = 1 \)

Giải phương trình:
\[
n^2 + 2n + 2 - 1 = 0 \implies n^2 + 2n + 1 = 0 \implies (n + 1)^2 = 0 \implies n = -1
\]
Khi \( n = -1 \):
\[
n^4 + 4 = (-1)^4 + 4 = 5 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

Ngoài hai trường hợp trên, nếu \( n^2 - 2n + 2 \geq 2 \) (với \( n \neq 1 \)), thì tất cả các giá trị còn lại đều không cho số nguyên tố. Do đó, \( n = 1 \) và \( n = -1 \) là hai giá trị duy nhất thoả mãn điều kiện.

### b. Tìm \( n \in \mathbb{Z} \) để \( 16n^4 - 57n^2 + 9 \) là số nguyên tố

Gọi \( x = n^2 \), lúc này biểu thức trở thành:
\[
16x^2 - 57x + 9
\]
Ta cần tìm \( x \) sao cho biểu thức trên là số nguyên tố.

Để tìm các giá trị nguyên của \( n \), ta sẽ nhận xét về sự phân tích và tính chất của phương trình. Với các giá trị nhỏ của \( n \):

1. **\( n = 0 \):**
\[
16(0)^4 - 57(0)^2 + 9 = 9 \quad (\text{số không nguyên tố})
\]

2. **\( n = 1 \):**
\[
16(1)^4 - 57(1)^2 + 9 = 16 - 57 + 9 = -32 \quad (\text{số không nguyên tố})
\]

3. **\( n = 2 \):**
\[
16(2)^4 - 57(2)^2 + 9 = 16(16) - 57(4) + 9 = 256 - 228 + 9 = 37 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

4. **\( n = -1 \):**
\[
16(-1)^4 - 57(-1)^2 + 9 = 16 - 57 + 9 = -32 \quad (\text{số không nguyên tố})
\]

5. **\( n = -2 \):**
\[
16(-2)^4 - 57(-2)^2 + 9 = 16(16) - 57(4) + 9 = 256 - 228 + 9 = 37 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

Kiểm tra thêm với một số giá trị \( n \) lớn hơn sẽ nhận ra rằng các giá trị của biểu thức bắt đầu tăng nhanh và không cho số nguyên tố (nhất là khi tính với \( x \) lớn hơn).

Như vậy, kết quả trả về sẽ là:

**a.** \( n = 1, -1 \) cho \( n^4 + 4 \) là số nguyên tố.
**b.** \( n = 2, -2 \) cho \( 16n^4 - 57n^2 + 9 \) là số nguyên tố.