Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác ADMI là hình chữ nhật

1. **Cấu trúc hình học**:
- Tam giác ABC vuông tại A, với M là trung điểm của BC.
- Đường thẳng MD song song với AC.
- Đường thẳng MI song song với AB.

2. **Tính song song**:
- Vì MD // AC và MI // AB, chúng ta suy ra rằng AD // MI và AM // MD.

3. **Tính chất vuông góc**:
- Trong một tam giác vuông, trung tuyến kẻ từ đỉnh sẽ chia cạnh đối diện thành hai đoạn bằng nhau. Với M là trung điểm của BC, thì AM vuông góc với BC.
- Do đó, AD vuông góc với MI.

4. **Hình chữ nhật**:
- Từ các tính chất trên, ta có tứ giác ADMI với hai cặp cạnh song song và vuông góc với nhau → ADMI là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác AMCH là hình thoi

1. **Gọi H là điểm thuộc tia đối của tia IM sao cho I là trung điểm của MH**:
- Từ vị trí của M và điều kiện định nghĩa H, ta có MH = MI. Điều này cho thấy H là điểm cân bằng.

2. **Tính chất hình thoi**:
- Tứ giác AMCH có: AM = MH (vì H là trung điểm của MH) và AC = IC (điều này cũng có thể kiểm tra từ hình học).
- Đồng thời, AM và CH đều song song với nhau.
- Vì AM = CH và AM // CH, tứ giác AMCH có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song → AMCH là hình thoi.

### Kết luận

- Tứ giác ADMI là hình chữ nhật.
- Tứ giác AMCH là hình thoi.

Hai bài toán này chứng minh rằng các tứ giác tương ứng thuộc về các loại hình học đặc biệt.