Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F. AI giao DF tại M. Tính S ΔAMB theo S ΔABC

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số tính chất của tam giác ngoại tiếp và các điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp.

Giả sử:
- \( S_{ABC} \) là diện tích của tam giác \( ABC \)
- \( S_{AMB} \) là diện tích của tam giác \( AMB \)

Theo tính chất của tam giác ngoại tiếp, tam giác \( ABC \) có thể được chia thành ba tam giác nhỏ hơn: \( AMD \), \( BMD \), và \( CMD \).

Ta có công thức tính diện tích tam giác \( AMB \) từ diện tích tam giác \( ABC \):
\[
S_{AMB} = S_{ABC} \cdot \frac{AD}{AB}
\]
Với \( AD \) là độ dài đoạn thẳng từ đỉnh \( A \) đến điểm tiếp xúc \( D \).
Tương tự, ta cũng có thể tính \( S_{BMC} \) và \( S_{CMA} \).

Phần còn lại của tam giác \( ABC \) sẽ có thể được tính bằng cách sử dụng tỷ lệ của các đoạn thẳng \( AD \), \( BD \), và \( CD \) với các cạnh \( AB \), \( BC \), \( CA \).

Do đó, ta có

\[
S_{AMB} = S_{ABC} \cdot \frac{AD}{AB} = S_{ABC} \cdot \frac{r_A}{s}
\]
với \( r_A \) là bán kính nội tiếp tại đỉnh \( A \) và \( s \) là bán kính nửa chu vi.

Mối quan hệ này có thể kết khoảng được như sau:
\[
S_{AMB} = \frac{1}{2} S_{ABC}
\]
điều này dẫn đến tỷ lệ đơn giản cho diện tích tam giác nhỏ hơn.

Cuối cùng, cho diện tích \( S_{AMB} \) theo \( S_{ABC} \):
\[
S_{AMB} = \frac{1}{2} S_{ABC}
\]
Do đó, diện tích của tam giác \( AMB \) luôn là một nửa diện tích của tam giác \( ABC \).

Kết luận:
\[
S_{AMB} = \frac{1}{2} S_{ABC}
\]