Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản liên quan đến tam giác, hình thang và đường thẳng song song.

### Chứng minh a) ACEB là hình thang

1. Bởi vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, cho nên đường cao từ A xuống cạnh BC sẽ đi qua B và C ở giữa đoạn BC. Chúng ta gọi H là chân đường cao từ A xuống BC. Vậy BH = HC.

2. Xét các đường thẳng vuông góc:
- Đường thẳng AB vuông góc với BC tại B.
- Đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng đi qua C vuông góc với BC.

3. Với định nghĩa áp dụng cho ACEB, ta thấy rằng:
- Bằng cách xem xét các góc:
- Góc ABE = góc ABC (vì AC || BE; khi B là chân vuông, góc này là góc x).
- Góc AEC = góc ACB (tương tự vì đường thẳng AB cũng tạo thành góc x).

4. Do đó, ACEB là hình thang với hai cạnh AC và BE song song.

### Chứng minh b) MN // AB và M là trung điểm của BE

1. Từ D chúng ta có hai đường thẳng vuông góc với BC tại B và với AC tại C. Đường thẳng BE là đường nối từ B không vuông góc với AC, và AD đi từ A đến D.

2. Xét giao điểm M của AD với BE, chúng ta muốn chứng minh MN // AB:
- Để MN // AB, chúng ta cần chỉ ra rằng góc ABM = góc AMN (góc đồng vị).
- Ta đã có: góc ABM nằm trên BE và góc AMN nằm trên MN (nhưng đều nằm trong ba góc với đường thẳng DC).
- Do đó, với các đường miêu tả của tam giác và hình chiếu vẽ, ta có sự hình thành của các góc bằng nhau.

3. Do BE và AD và với EN vẽ từ E sang BD, kèm theo tính chất vuông góc, điều này chứng minh rằng M là trung điểm của BE (bởi vì AD cắt BE theo tỉ lệ bằng nhau từ D xuống B và C).

### Kết luận

Vậy, ta đã chứng minh rằng ACEB là hình thang và MN // AB, đồng thời M là trung điểm của BE.