Để tính tổng \( 11 \cdot 12 + 12 \cdot 13 + 13 \cdot 14 + \ldots + 98 \cdot 99 \), ta có thể nhìn nhận lại từng hạng tử trong tổng này.

Mỗi hạng tử có dạng \( n(n+1) \) với \( n \) chạy từ 11 đến 98, tức là:

\[
n(n+1) = n^2 + n
\]

Vì vậy, tổng có thể được viết lại như sau:

\[
\sum_{n=11}^{98} n(n+1) = \sum_{n=11}^{98} (n^2 + n) = \sum_{n=11}^{98} n^2 + \sum_{n=11}^{98} n
\]

Tiếp theo ta cách tính riêng từng phần.

1. **Tính \( \sum_{n=11}^{98} n \)**

Tổng của các số nguyên từ 11 đến 98 được tính bằng công thức tổng số hạng liên tiếp:

\[
\sum_{n=11}^{98} n = \frac{m}{2} \cdot (a + l)
\]

Trong đó:
- \( m = 98 - 11 + 1 = 88 \) (số hạng)
- \( a = 11 \) (số hạng đầu)
- \( l = 98 \) (số hạng cuối)

Áp dụng vào công thức:

\[
\sum_{n=11}^{98} n = \frac{88}{2} \cdot (11 + 98) = 44 \cdot 109 = 4796
\]

2. **Tính \( \sum_{n=11}^{98} n^2 \)**

Tổng của các bình phương số nguyên từ 1 đến \( n \) có công thức:

\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

Vì vậy, tổng từ 11 đến 98 có thể tính như sau:

\[
\sum_{n=11}^{98} n^2 = \sum_{k=1}^{98} k^2 - \sum_{k=1}^{10} k^2
\]

Tính \( \sum_{k=1}^{98} k^2 \):

\[
\sum_{k=1}^{98} k^2 = \frac{98 \cdot 99 \cdot 197}{6}
\]

Tính từng phần:

\[
\frac{98 \cdot 99 \cdot 197}{6} = \frac{1920786}{6} = 320131
\]

Tính \( \sum_{k=1}^{10} k^2 \):

\[
\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385
\]

Vậy:

\[
\sum_{n=11}^{98} n^2 = 320131 - 385 = 319746
\]

3. **Tính tổng cuối cùng**

Cho cả hai tổng đã tìm được, ta có:

\[
\sum_{n=11}^{98} n(n+1) = \sum_{n=11}^{98} n^2 + \sum_{n=11}^{98} n = 319746 + 4796 = 324542
\]

Do đó, kết quả cuối cùng của tổng \( 11 \cdot 12 + 12 \cdot 13 + 13 \cdot 14 + \ldots + 98 \cdot 99 \) là:

\[
\boxed{324542}
\]