Để rút gọn biểu thức \( P \), ta có:

\[
P = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} - \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} \right)
\]

Trước tiên, ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức:

1. Tính giá trị của \( \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} \).

2. Tính giá trị của \( \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} \).

Sau khi rút gọn những phần này, ta sẽ trừ chúng lại với nhau.

### Bài a: Rút gọn \( P \)

Ta rút gọn từng phần:

**Phần 1: \( \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} \)**

Để đơn giản hóa, ta nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \):

\[
\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} \cdot \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{1} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}
\]

**Phần 2: \( \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} \)**

Có thể viết lại biểu thức:

\[
\frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}
\]

### Kết hợp lại

Bây giờ, rút gọn biểu thức \( P \):

\[
P = \left( \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \right) - \frac{1}{\sqrt{x}+1}
\]

### Bài b: Tính giá trị của \( P \) khi \( x = 4 \)

Thay \( x = 4 \):

1. Tính \( \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)
2. Tính \( \sqrt{4} = 2 \)
3. Tính \( \sqrt{4} + 1 = 3 \)

Vậy \( P \):

\[
P = (\sqrt{5} - 2) - \frac{1}{3}
\]

Cuối cùng:

\[
P = \sqrt{5} - 2 - \frac{1}{3} = \sqrt{5} - \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \sqrt{5} - \frac{7}{3}
\]

Đây là giá trị của \( P \) khi \( x = 4 \).