Để chứng minh tứ giác \(AMCK\) là hình gì, ta sẽ phân tích các thành phần và tính chất của chúng.

1. **Định nghĩa các điểm**:
- Cho tam giác vuông \(ABC\) tại \(A\) với \(AB < AC\).
- \(M\) là trung điểm của \(BC\).
- \(E\) là trung điểm của \(AC\).
- \(MD\) là đường vuông góc với \(AB\) tại điểm \(D\).
- \(K\) là điểm đối xứng với \(M\ qua E\).

2. **Tính chất của điểm đối xứng**:
- Nếu \(K\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(E\), ta có:
\[
\vec{E} = \frac{\vec{M} + \vec{K}}{2} \implies \vec{K} = 2\vec{E} - \vec{M}
\]

3. **Tính chất của tứ giác \(AMCK\)**:
- Chúng ta cần chứng minh rằng \(AMCK\) là hình chữ nhật (hoặc hình thoi, hoặc hình bình hành).

4. **Chứng minh tứ giác \(AMCK\) là hình chữ nhật**:
- Từ việc \(D\) là điểm trên \(AB\) và \(MD\) vuông góc với \(AB\), suy ra \(MD \perp AB\) nên \(MD\) cũng là chiều cao từ \(M\) xuống \(AB\).
- Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(E\) là trung điểm của \(AC\), ta có \(ME \perp AB\) khi \(D\) đi từ \(M\) đến \(AB\).
- Vì \(K\) là đối xứng của \(M\) qua \(E\), ta có:
- \(EK \perp AB\) do \(E\) là trung điểm và \(K\) nằm trên tiếp tuyến vuông góc.
- Từ đó, \(\angle AME = \angle KME = 90^\circ\).
- Điều này cho thấy hai đoạn \(AM\) và \(CK\) đều vuông góc với \(AB\) và đồng thời \(AC\) song song với \(MK\).
- Do đó, ta có:
- \(AM \parallel CK\) và \(MC \parallel AK\), vậy \(AMCK\) là hình bình hành.

5. **Kết luận**:
- Từ những lập luận trên, tứ giác \(AMCK\) là một hình chữ nhật (vì có ba cặp cạnh vuông góc với nhau và song song).

Do đó, \(AMCK\) là một hình chữ nhật.