Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất của góc và định lý một số tam giác.

**Phần a)** Chứng minh rằng \(\tan \angle ABD = \tan \angle ACD\):

1. Vì \(Az\) là tia phân giác của \( \angle xAy\), ta có \(\frac{\tan \angle BAz}{\tan \angle CAz} = \frac{AB}{AC}\).
2. Từ \(D\) kẻ đường thẳng vuông góc xuống \(Ax\), ta gọi điểm giao của đường thẳng này với \(Ax\) là \(B\). Tương tự, từ \(D\) kẻ đường thẳng vuông góc xuống \(Ay\), ta gọi điểm giao với \(Ay\) là \(C\).
3. Lúc này ta có:
- \(\angle ABD = \angle BAz\)
- \(\angle ACD = \angle CAz\)

Vì \(AD\) vuông góc với \(BC\), suy ra:
\[
\tan \angle ABD = \frac{AB}{AD} \quad \text{và} \quad \tan \angle ACD = \frac{AC}{AD}
\]
Do đó, ta có:
\[
\tan \angle ABD = \tan \angle ACD
\]

**Phần b)** Chứng minh rằng \(\tan \angle DBE = \tan \angle DCH\):

1. Tương tự như phần a), ta có thể thiết lập:
- \(\angle DBE\) và \(\angle DCH\) là hai góc mà có \(AD\) là chiều cao của hai tam giác vuông \(ABD\) và \(ACD\).
2. Theo tính chất của các tam giác vuông, ta có:
\[
\tan \angle DBE = \frac{BE}{BD} \quad \text{và} \quad \tan \angle DCH = \frac{CH}{CD}
\]
3. Bởi vì \(BE\) và \(CH\) đều là các đoạn thẳng từ \(D\) tới \(BC\) tại hai điểm giao nhau, do đó ta có \(\tan \angle DBE = \tan \angle DCH\).

**Phần c)** Chứng minh rằng \(AD\) vuông góc với \(BC\):

1. Đầu tiên, từ điểm \(D\) hạ đường vuông góc tới \(Ax\) tại \(B\) và vuông góc tới \(Ay\) tại \(C\).
2. Khi đó, ta có tam giác \(ABD\) với \(AB\) vuông góc với \(AD\) và tam giác \(ACD\) với \(AC\) vuông góc với \(AD\).
3. Bởi vì \(BC\) nằm trên đường thẳng đi qua \(B\) và \(C\) và cả các góc với các cạnh BC đều là cạnh vuông góc với \(AD\):

Kết quả suy ra rằng \(AD\) vuông góc với \(BC\).

Từ những điều đã chứng minh, ta có thể kết luận:
\[
\text{(a) } \tan \angle ABD = \tan \angle ACD, \quad \text{(b) } \tan \angle DBE = \tan \angle DCH, \quad \text{(c) } AD \perp BC
\]

Hy vọng phần giải này có thể giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán đã cho!