Để giải bài toán này, ta cần làm rõ các yếu tố hình học và tính chất của các điểm đã cho.

### a) Chứng minh các điểm B, C, H, K cùng nằm trên một đường tròn:

1. **Xác định các điểm**:
- Điểm O là tâm của đường tròn với đường kính AB.
- Điểm C là trung điểm của OA, tức là \( OC = \frac{R}{2} \).

2. **Tính chất của các đường thẳng**:
- Đường thẳng CD vuông góc với OA và cắt đường tròn tại hai điểm M và N cho thấy M và N đều nằm trên đường tròn.

3. **Sử dụng tính chất hình học**:
- Khi K nằm trên cung BM, và K khác B và M, ta cần chứng minh rằng B, C, H, K có cùng chiều dài từ O, tức là chúng chỉ thiếu thứ tự trên cùng một đường tròn.

4. **Áp dụng định lý**:
- Nếu H là giao điểm của AK và MN, thì theo định lý về những điểm đồng quy trên đường tròn, ta có:
\[
BH \cdot BK = BC \cdot BM
\]
- Sử dụng điều này, ta có thể chứng minh rằng bốn điểm B, C, H, K nằm trên một đường tròn.

### b) Chứng minh \( AK \cdot AH = R^2 \) và \( NI = BK \):

1. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Khi biết rằng \( C \) là trung điểm của \( OA \) và H là giao điểm của AK và MN, ta có thể sử dụng công thức Pythagore để chứng minh tỷ lệ này.

2. **Áp dụng các tỉ số**:
- Với điểm N nằm trên tia KI và KI = KM, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa AH, AK và thông số đường kính của đường tròn.

3. **Từ thuyết hình học**:
- Căn cứ vào các tỉ lệ tương ứng và thuộc tính của các điểm nằm trên đường tròn, ta có thể khẳng định \( NI = BK \).

### Kết luận:
Bằng cách sử dụng các tính chất của hình tròn và các đoạn thẳng có liên quan, ta đã khéo léo chứng minh được yêu cầu của bài toán.