Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý cạnh – góc – cạnh (c.g.c) và các tính chất của tam giác.

### Chứng minh:

#### a) Chứng minh \( \triangle ABM = \triangle ACM \)

1. **Đối chiếu cạnh**:
- \( AB = AC \) (Theo giả thiết).
- \( AM = AM \) (Chứng minh điểm chung).
- \( BM = CM \) (M là trung điểm của BC).

2. **Đối chiếu góc**:
- Xét góc \( \angle ABM \) và \( \angle ACM \):
- Hai góc này đối diện với hai cạnh tương ứng và nằm cạnh BC. Do đó chúng sẽ bằng nhau (do tính chất của các góc ở cùng một vị trí khi M là trung điểm).

3. **Kết luận**:
- Từ các cặp cạnh và góc đã chứng minh, ta có \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \) theo c.g.c.

#### b) Chứng minh \( AM \) là tia phân giác của \( \angle BAC \)

1. **Dựa vào kết quả ở phần (a)**:
- Từ \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \), ta suy ra rằng \( \angle ABM = \angle ACM \).

2. **Tính chất tia phân giác**:
- Vì \( AM \) chia góc \( \angle BAC \) thành hai góc bằng nhau (\( \angle ABM = \angle ACM \)), nên \( AM \) chính là tia phân giác của \( \angle BAC \).

#### c) Chứng minh \( AM \perp BC \)

1. **Dựa vào kết quả (b)**:
- Khi \( AM \) là tia phân giác của \( \angle BAC \) và \( BM = CM \) (cùng bằng nhau), điều này chứng tỏ rằng \( AM \) cũng sẽ vuông góc với \( BC \).

2. **Kết luận**:
- Nếu \( AM \) là tia phân giác và \( M \) là trung điểm (của BC), ta có \( AM \perp BC \).

### Tóm tắt:
- Chứng minh \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \).
- Khẳng định \( AM \) là tia phân giác.
- Kết luận \( AM \perp BC \).