Để giải bài toán, ta sẽ tiến hành theo các phần yêu cầu:

### a) Chứng minh ΔAMB = ΔDMC

Ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên \( MB = MC \).
- \( MA = MD \) theo giả thiết.
- \( AM = DM \) (điểm đối xứng).

Vì vậy, ta có:
- \( AB = CD \) (hai cạnh tương ứng).
- \( AM = DM \) (hai cạnh tương ứng).
- \( MB = MC \) (hai cạnh tương ứng).

Từ đó, theo tiêu chuẩn hai cạnh và góc kẹp, ta có:
\[
ΔAMB = ΔDMC
\]

### b) Chứng minh AC // BD

Từ kết quả trên, ta có hai tam giác \( ΔAMB \) và \( ΔDMC \) với:
- \( AB = CD \)
- \( AM = DM \)
- \( MB = MC \)

Khi đó, góc \( AMB \) sẽ bằng góc \( DMC \) (góc tương ứng). Do đó, nếu kéo dài hai đoạn thẳng \( AC \) và \( BD \), góc \( BAC \) sẽ bằng góc \( DBC \).

Những nhận xét này dẫn đến việc xác nhận \( AC \parallel BD \).

### c) Kẻ AH ⊥ BC, DK ⊥ BC và chứng minh BK = CH

Ta có:
- \( AH \perp BC \) (định nghĩa).
- \( DK \perp BC \) (định nghĩa).

Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) và các tam giác \( AMB \) và \( DMC \) đã được chứng minh bằng nhau, suy ra chiều cao từ \( A \) và \( D \) đến \( BC \) là như nhau.

Từ đó, ta có:
- \( AH = DK \)
- Thiết lập tam giác vuông tại \( H \) và \( K \), khi đó \( BK \) và \( CH \) đều là chiều cao từ \( B \) và \( C \) xuống \( DK \) và \( AH \), nên \( BK = CH \).

### d) Gọi I là trung điểm của AC, vẽ điểm E sao cho I là trung điểm của BE và chứng minh C là trung điểm của DE

Ta có:
- \( I \) là trung điểm của \( AC \) dẫn đến \( AI = IC \) (điểm đối xứng).

Khi \( I \) là trung điểm của \( BE \), ta có \( BI = IE \).

Kết hợp lại, ta có:
- \( CI = AI = IE \)
- Do tính chất đối xứng của tam giác, từ đó kéo dài, ta có \( C \) là trung điểm của \( DE \).

Vậy ta có:
\[
C là trung điểm của DE
\]

Kết luận, đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.