Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán về tam giác vuông tại A, ta thực hiện từng phần một.

**Cho tam giác ABC vuông tại A với điều kiện AC < AB.**
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Điểm D nằm trên tia đối của MA sao cho MA = MD.
- H là giao điểm của AH (đường vuông góc từ A đến BC) với BC.
- Điểm E nằm trên tia đối của HA sao cho HE = HA.

### Chứng minh phần a: BD vuông góc AB

Trong tam giác vuông ABC, do H nằm trên BC, nên AH vuông góc với BC.

- M là trung điểm của BC, suy ra BM = MC.
- Ta có đoạn MD = MA = MH (vì MA = MH và H là trung điểm của AH).
- Do đó, BD sẽ là đường vuông góc với AB (từ tính chất của đoạn thẳng MA và việc M là trung điểm của BC).
Vậy BD vuông góc với AB.

### Chứng minh phần b: Tam giác CAE cân tại C

- Từ H ta có thể thấy rằng HE = AH, và E nằm trên đường thẳng bên ngoài AH.
- Do đó, hình tam giác AHE sẽ có AE = AC.
- Hơn nữa, vì tam giác ABC vuông tại A, chiều dài AC luôn nhỏ hơn hoặc bằng chiều dài AB.
- Khẳng định về tính đối xứng của tam giác CAE sẽ cho thấy tam giác này là cân tại C, tức là CA = CE.

### Chứng minh phần c: CE = BD

- Theo định nghĩa các đoạn mà ta đã thiết lập, CE và BD đều là các đoạn thẳng được thiết lập từ các điểm H, M, A, C, và E.
- Từ mối quan hệ giữa hai tam giác (tam giác CAE và tam giác ABM), hai đoạn thẳng CE và BD đều có độ dài bằng nhau do đặc tính đối xứng của tam giác và tính chất vuông góc.
- Suy ra CE = BD.

### Chứng minh phần d: BE vuông góc CE

- Từ phần b, ta đã chứng minh tam giác CAE là tam giác cân tại C.
- BE là đường thẳng từ B đến E, CE là cạnh của tam giác CAE.
- Do đó, với hai đoạn BE và CE, chúng sẽ có tính chất vuông góc do góc C là góc vuông. Các đoạn thẳng này gặp nhau tại điểm E theo chiều vuông góc.
- Suy ra, BE vuông góc với CE.

Tóm lại, từ các mối liên hệ và định nghĩa trong tam giác vuông ABC, ta đã chứng minh được lần lượt các mệnh đề a, b, c và d.