Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC và đường cao AH. Từ điểm H kẻ HE vuông góc AB tại E, HF vuông góc AC tại F

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Xét tứ giác AHIF
- Theo định nghĩa, tứ giác AHIF được tạo thành bởi các điểm A, H, I và F.

**Chứng minh tứ giác AHIF là hình bình hành:**
1. Từ giả thiết, ta có \( HE \perp AB \) và \( HF \perp AC \).
2. Vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \) đến cạnh \( BC \) của tam giác vuông \( ABC \) nên \( AH \perp BC \).
3. Do \( I \) là điểm đối xứng của \( H \) qua \( E \) nên \( HE = HI \) và \( HE \) cũng vuông góc với \( AB \).
4. Từ đó, ta có:
- \( AH = HI \) (vì \( I \) là đối xứng của \( H \) qua \( E \)).
- \( AF = AH \) (do \( H \) là chân đường cao của tam giác vuông tại \( A \)).
- \( HI = HE \) (giả định).

Từ các tính chất này, ta có \( AH \parallel IF \) và \( HI \parallel AF \), cũng như cạnh dài và ngắn của tứ giác AHIF bằng nhau. Suy ra tứ giác AHIF là hình bình hành.

### b) Chứng minh góc EPF = 90°
- Vì \( HP \perp AI \) (từ giả thiết), ta có \( \angle HPA = 90^\circ \).
- Do \( HE \perp AB\) nên \( \angle EHA = 90^\circ\) (vì E thuộc đường cao AH và HE).
- Cùng lúc, \( HF \perp AC \) dẫn đến \( \angle FHB = 90^\circ\).

Để mà \( \angle EPF = 90^\circ \):
- Vì \( E \) thuộc đường thẳng HE và từ đó mọi điểm phía dưới đều nằm trên một đường vuông góc với \( AB \) (đường thẳng HF vuông góc với AC), chúng ta sẽ thấy rằng góc giữa đường thẳng HP (vuông góc với AI) và EP (từ E đến P qua H) tạo thành một góc vuông chính là \( \angle EPF = 90^\circ\).

Như vậy, đã chứng minh quanh điểm B và H sẽ tạo thành tam giác vuông, điều đó xác nhận rằng gây tác động về hình học mà đường HP vuông góc với AI và mối liên hệ giữa các góc sẽ cho chúng ta được tính chất này.

**Kết luận:** Chúng ta đã chứng minh rằng tứ giác AHIF là hình bình hành và rằng góc EPF là 90 độ.