Cho tam giác ABC nhọn, có ba đường cao AM,BN,CL, chứng minh

Để chứng minh rằng diện tích tam giác \( S_{ABC} \) có thể tính bằng các công thức liên quan đến độ dài các cạnh và các góc của tam giác, ta sẽ sử dụng định nghĩa diện tích của tam giác.

Diện tích của tam giác \( ABC \) được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C
\]

Trong công thức này:

- \( a \) là độ dài cạnh \( BC \)
- \( b \) là độ dài cạnh \( AC \)
- \( C \) là góc tại đỉnh \( A \)

Từ đó, ta có thể viết diện tích bằng các cặp cạnh và góc tương ứng tại các đỉnh khác nhau.

1. **Tính diện tích bằng cạnh \( BC \) và góc tại đỉnh \( A \):**
- Đặt \( a = BC \), \( b = AB \) và \( C = \angle A \):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin A
\]

2. **Tính diện tích bằng cạnh \( AC \) và góc tại đỉnh \( B \):**
- Đặt \( b = AC \), \( a = AB \) và \( B = \angle B \):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin B
\]

3. **Tính diện tích bằng cạnh \( AB \) và góc tại đỉnh \( C \):**
- Đặt \( a = AC \), \( b = BC \) và \( C = \angle C \):
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin C
\]

Tóm lại, từ ba tính toán trên, ta có thể viết được:

\[
S_{abc} = \frac{1}{2} BC \cdot AB \cdot \sin A = \frac{1}{2} AC \cdot AB \cdot \sin B = \frac{1}{2} BC \cdot AC \cdot \sin C
\]

Điều này chứng tỏ rằng diện tích tam giác \( ABC \) có thể được tính bằng các cạnh và góc của nó theo nhiều cách khác nhau.

Do đó, ta đã chứng minh rằng:

\[
S_{abc} = \frac{1}{2} BC \cdot AB \cdot \sin A = \frac{1}{2} AC \cdot AB \cdot \sin B = \frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin C
\]

Điều này khẳng định cho công thức diện tích tam giác mà bạn đã đề cập.