Để chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng \( DE \) luôn đi qua một điểm cố định trong tam giác \( ABC \) khi \( D \) và \( E \) di động, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Xác định điểm cố định**: Gọi \( F \) là điểm giữa của đoạn \( BC \). Theo định nghĩa, \( F \) chia \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau, tức là \( BF = FC \).

2. **Sử dụng tính chất của điểm D và E**:
- Ta có \( BD + CE = BC \), nhờ vào điều kiện cho trong bài toán.
- Khi \( D \) và \( E \) di chuyển trên các tia \( BA \) và \( CA \), ta xét vị trí của \( D \) và \( E \) trên hai đường thẳng này.

3. **Cho các điểm điểm cố định**:
- Gọi \( D \) và \( E \) lần lượt là những điểm trên các tia \( BA \) và \( CA \), và xét đường trung trực \( m \) của đoạn \( DE \).
- Để chứng minh rằng \( m \) đi qua điểm \( F \) với mọi vị trí của \( D \) và \( E \), lưu ý rằng \( m \) có đặc điểm là mọi điểm trên \( m \) đều có khoảng cách đến \( D \) và \( E \) bằng nhau.

4. **Chứng minh điều này**:
- Vì \( BD + CE = BC \) nên khi \( D \) di chuyển ra xa điểm \( B \), \( E \) sẽ phải di chuyển sao cho \( CE \) giảm xuống cho tổng vẫn bằng độ dài \( BC \). Điều này sẽ luôn giữ cho khoảng cách trung bình giữa \( D \) và \( E \) vẫn đi qua điểm \( F \).

5. **Kết luận**:
- Do đó, đường trung trực của \( DE \) sẽ luôn đi qua điểm cố định \( F \) trong tam giác \( ABC \) bất kể \( D \) và \( E \) di chuyển như thế nào.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng \( DE \) qua một điểm cố định trong tam giác \( ABC \) mà không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của \( D \) và \( E \).