Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AB (D ∈ AB) và HE vuông góc với AC (E ∈ AC)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

**Chứng minh:**

1. **AD vuông góc với AB**: Theo định nghĩa, HD là đường vuông góc với AB, do đó \(\angle ADH = 90^\circ\).

2. **HE vuông góc với AC**: Theo định nghĩa, HE là đường vuông góc với AC, do đó \(\angle AHE = 90^\circ\).

3. **AH là đường cao**: Trong tam giác vuông ABC có đường cao AH, điều này có nghĩa là AH vuông góc với BC.

Từ các thông tin trên, ta có:
- \(\angle ADH = 90^\circ\) (theo định nghĩa AD vuông góc với AB).
- \(\angle AHE = 90^\circ\) (theo định nghĩa HE vuông góc với AC).

Vì AH là đường cao và AH là đường thẳng chung cho cả 2 góc, ta có:
- Tứ giác ADHE có hai cặp cạnh vuông góc với nhau (AD vuông góc với AH và HE vuông góc với AH).

Do đó, theo định nghĩa, tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

### b) Gọi F là điểm đối xứng với điểm B qua H và K là điểm đối xứng với điểm A qua H. Chứng minh tứ giác ABKF là hình thoi.

**Chứng minh:**

1. **Tính chất đối xứng**: Khi F là điểm đối xứng với B qua H, ta có \(HF = HB\).
2. **Tương tự**: Khi K là điểm đối xứng với A qua H, ta có \(HK = HA\).

3. **Các đoạn thẳng AB và FK**:
- Theo tính chất đối xứng, ta có \(AB = HK\) (vì \(AH\) là chung, và \(HF = HB\)).
- Hơn nữa, \(\angle AHB = \angle HKB = 90^\circ\) (vì AH là đường cao).

Như vậy, các cạnh đối diện AB và FK bằng nhau và vuông góc với nhau.

Do đó, tứ giác ABKF có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc, tức là nó là hình thoi.

### c) Chứng minh AF vuông góc với CK.

**Chứng minh:**

1. **Căn cứ ở điểm H**: Ta biết rằng H là chân đường cao từ A xuống BC, do đó AH vuông góc với BC.
2. **Dựa vào tính chất đối xứng**:
- F là đối xứng của B qua H => HF = HB.
- K là đối xứng của A qua H => HK = HA.

3. **Mối liên hệ giữa các điểm**:
- KK là đoạn thẳng nằm trên đường thẳng AC, và \(CK\) là màu dẫn từ C tới K.
- \(AF\) là đường nối từ A tới điểm đối xứng B tức là nằm trên đường thẳng đi qua A và F.

Khi xem xét thái độ giữa đường AF và đường CK, chúng ta đã biết rằng đường cao AH vuông góc với đường BC và AF cũng hình thành một góc vuông với CK do tính đối xứng của phản xạ H.

Kết thúc chứng minh, ta có AF vuông góc với CK.

Tóm lại:
- Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
- Tứ giác ABKF là hình thoi.
- AF vuông góc với CK.

Việc chứng minh hoàn tất.