Để tính diện tích hình thang ABCD, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định thông tin hình học**:
- Hình vuông AMCD có cạnh 9 cm.
- Khi kéo dài đáy bé AB thêm 4 cm, ta được AM = AB + 4 cm = 9 cm.

2. **Tìm độ dài đáy nhỏ AB**:
- Từ AM = 9 cm, ta có \( AB + 4 = 9 \).
- Do đó, \( AB = 9 - 4 = 5 \) cm.

3. **Xác định chiều cao của hình thang**:
- Hình vuông có cạnh 9 cm nên chiều cao hình thang ABCD (h) từ đáy lớn CD đến đáy nhỏ AB chính là chiều cao của hình vuông AMCD là 9 cm.

4. **Khi đã biết đáy nhỏ AB và chiều cao h**:
- Đáy nhỏ \( a = AB = 5 \) cm.
- Đáy lớn \( b = CD = AM = 9 \) cm (tương ứng với cạnh hình vuông).

5. **Tính diện tích hình thang ABCD**:
- Công thức tính diện tích hình thang là:
\[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
\]
- Thay các giá trị vào công thức:
\[
S = \frac{(5 + 9) \cdot 9}{2} = \frac{14 \cdot 9}{2} = \frac{126}{2} = 63 \text{ cm}^2
\]

Do đó, diện tích hình thang ABCD là \( 63 \text{ cm}^2 \).