Để rút gọn biểu thức \( A \) như sau:

\[
A = \left( \frac{\sqrt{y}}{x + \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} \right) \cdot \frac{2\sqrt{y}}{x - y} ; \quad (x > 0, y > 0, x \neq y)
\]

Ta bắt đầu với phần bên trong dấu ngoặc.

### Bước 1: Tính tổng hai phân thức
Trước tiên, ta quy đồng hai phân thức trong ngoặc:

\[
\frac{\sqrt{y}}{x + \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} = \frac{\sqrt{y}(x - \sqrt{xy}) + \sqrt{y}(x + \sqrt{xy})}{(x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy})}
\]

Nêu rõ được tử số:

\[
= \frac{2\sqrt{y}x}{(x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy})}
\]

Và mẫu số là:

\[
= (x^2 - (\sqrt{xy})^2) = x^2 - xy
\]

Do vậy ta có:

\[
A = \left( \frac{2\sqrt{y}x}{x^2 - xy} \right) \cdot \frac{2\sqrt{y}}{x - y}
\]

### Bước 2: Ghi lại biểu thức
Biểu thức lúc này trở thành:

\[
A = \frac{2\sqrt{y}x \cdot 2\sqrt{y}}{(x^2 - xy)(x - y)} = \frac{4y x}{(x^2 - xy)(x - y)}
\]

### Bước 3: Rút gọn
Ta có:

\[
x^2 - xy = x(x - y)
\]

Thay vào biểu thức của \( A \):

\[
A = \frac{4y x}{x(x - y)(x - y)} = \frac{4y}{(x - y)^2} \quad (\text{với } x \neq 0)
\]

### Kết luận
Biểu thức rút gọn được là:

\[
A = \frac{4y}{(x - y)^2}
\]