Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + x + 2}{x - 1} \), chúng ta tiến hành thực hiện các bước sau:

### 1. Tìm miền xác định
Hàm số không xác định tại \( x = 1 \), nên miền xác định là:
\[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \]

### 2. Tìm giới hạn và tìm đạo hàm

#### a. Giới hạn khi \( x \) tiến đến \( 1 \):
\[
\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 2}{x - 1}
\]
Áp dụng quy tắc L'Hôpital hoặc phép tách biệt:
\[
\lim_{x \to 1} = \infty
\]
Vì hàm số có phân số ở dạng \( \frac{k}{0} \) với \( k \neq 0 \), nên hàm có điểm không xác định \( y \to +\infty \) hoặc \( -\infty \).

#### b. Tìm đạo hàm:
Áp dụng quy tắc chia cảm giác:
\[
f'(x) = \frac{(x - 1)(2x + 1) - (x^2 + x + 2)(1)}{(x - 1)^2}
\]
Rút gọn và tìm các giá trị mà \( f'(x) = 0 \).

### 3. Tìm các điểm cực trị
Giải \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị.

### 4. Tìm tính chất tăng/giảm và cực trị
- Xác định dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định để nhận biết các khoảng hàm tăng hay giảm.
- Các cực trị sẽ nằm tại các điểm mà \( f'(x) = 0 \).

### 5. Vẽ đồ thị
- Các điểm đặc biệt (cực trị, điểm không xác định, điểm giao trục).
- Diễn biến của hàm khi \( x \to \pm\infty \).

### 6. Bài toán đối xứng
Cần tìm tất cả các cặp điểm \( M_1, M_2 \) trên đồ thị và kiểm tra tính đối xứng qua điểm \( \left( 0; \frac{5}{2} \right) \).

Từ đó, bạn có thể xác định các điểm đối xứng bằng cách giải hệ phương trình cho các tọa độ và xác định xem chúng có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.

Sau khi hoàn thiện tất cả các bước trên, có thể vẽ đồ thị của hàm số.