Để tính tổng \( A = 1 + (-3) + 5 + (-7) + \ldots + 21 + (-23) \), ta cần phân tích dãy số thành các cặp số.

### Bước 1: Xác định các thành phần của dãy

Dãy số trên có các số dương như sau:
- Các số dương: \( 1, 5, 9, 13, 17, 21 \) (là các số lẻ từ 1 đến 21).
- Các số âm: \( -3, -7, -11, -15, -19, -23 \) (là các số lẻ âm từ -3 đến -23).

### Bước 2: Tính số lượng số trong dãy

- Số dương: \( 1, 5, 9, 13, 17, 21 \) có 6 số.
- Số âm: \( -3, -7, -11, -15, -19, -23 \) có 6 số.

### Bước 3: Tính tổng của các số dương và số âm

- Tổng các số dương:
\[
1 + 5 + 9 + 13 + 17 + 21 = (1+21) + (5+17) + (9+13) = 22 + 22 + 22 = 66
\]

- Tổng các số âm:
\[
-3 + (-7) + (-11) + (-15) + (-19) + (-23) = -(3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23)
\]

Tính tổng \( 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 \):
Sử dụng công thức tổng của cấp số cộng, ta có \( n = 6 \), số đầu là \( 3 \), số cuối là \( 23 \):
\[
T = \frac{n}{2} (a + l) = \frac{6}{2} (3 + 23) = 3 \times 26 = 78
\]
Vậy:
\[
-3 - 7 - 11 - 15 - 19 - 23 = -78
\]

### Bước 4: Tính tổng \( A \)

Bây giờ, ta có:
\[
A = (Tổng \ các \ số \ dương) + (Tổng \ các \ số \ âm) = 66 + (-78) = 66 - 78 = -12
\]

### Kết quả

Kết quả cuối cùng là:
\[
\boxed{-12}
\]