Chứng minh a ^2 + c^2/b^2 + d^2 = ac/bd

Để chứng minh đẳng thức \( \frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \frac{ac}{bd} \) cho tỉ lệ thức \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), ta có thể bắt đầu bằng việc thay thế một trong các biến dựa theo tỉ lệ đã cho.

Từ tỉ lệ thức \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), ta có thể viết lại:

\[
ad = bc.
\]

Giờ ta sẽ chứng minh đẳng thức bằng cách thực hiện phép biến đổi:

Bắt đầu từ vế trái \( \frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} \):

\[
\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2}.
\]

Thay \( c \) bằng \( \frac{ad}{b} \) vào vế trái (từ tỉ lệ thức \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), suy ra \( c = \frac{ad}{b} \)):
\[
c^2 = \left(\frac{ad}{b}\right)^2 = \frac{a^2d^2}{b^2}.
\]

Thay vào vế trái:

\[
\frac{a^2 + \frac{a^2d^2}{b^2}}{b^2 + d^2}.
\]

Chỉ ra:

\[
= \frac{a^2\left(1 + \frac{d^2}{b^2}\right)}{b^2 + d^2}.
\]

Rút gọn \( 1 + \frac{d^2}{b^2} \) thành \( \frac{b^2 + d^2}{b^2} \):

Ta có:

\[
= \frac{a^2 \cdot \frac{b^2 + d^2}{b^2}}{b^2 + d^2} = \frac{a^2}{b^2}.
\]

Bây giờ, ta cần thể hiện vế phải \( \frac{ac}{bd} \):

Thay giá trị \( c = \frac{ad}{b} \):

\[
\frac{a \cdot \frac{ad}{b}}{bd} = \frac{a^2d}{b^2d} = \frac{a^2}{b^2}.
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \frac{a^2}{b^2} = \frac{ac}{bd}.
\]

Vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức yêu cầu:

\[
\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \frac{ac}{bd}.
\]

Kết luận rằng \( \frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} = \frac{ac}{bd} \) khi \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) là đúng.