Cho đường tròn (O;R), đường kính AB, đường kính CD di động. Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tại B. Đường thẳng d cắt các đường thẳng AC, AD theo thứ tự tại P và Q

Để giải các bài toán đã nêu, ta cần làm rõ các đối tượng hình học và áp dụng các tính chất cơ bản của hình học phẳng, đặc biệt là các định lý liên quan đến đường tròn và tiếp tuyến.

### a) Chứng minh: C, P, Q, D thuộc một đường tròn

Để chứng minh C, P, Q, D nằm trên một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và các góc của chúng.

1. **Góc tại B**: Vì d là tiếp tuyến tại B, nên:
\[
\angle PBD = \angle CBA
\]
(góc ngoài với C).

2. **Góc C**: Từ C, ta có rằng đường thẳng AC cắt d tại P và đường thẳng AD cắt d tại Q. Theo định lý về các góc tương ứng:
\[
\angle CPB + \angle CQD = 180^\circ
\]

3. **Tâm đường tròn đi qua 4 điểm**: Với các góc ở B và các góc tại C, ta thấy rằng tổng các góc tại P và Q là 180 độ. Do đó, với các điểm P, Q, C và D, chúng thuộc về một đường tròn, tức là:
\[
C, P, Q, D \text{ cùng nằm trên một đường tròn.}
\]

### b) Chứng minh: AD \(\cdot\) AQ = AC \(\cdot\) AP

Sử dụng định lý tiếp tuyến và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng.

1. Ta có rằng do d là tiếp tuyến, AD vuông góc với OB và AP cũng vuông góc với OD. Do đó, tỉ lệ của các đoạn thẳng được xác lập theo định lý tiếp tuyến:
\[
AP^2 = AB \cdot AC \text{ và } AQ^2 = AB \cdot AD.
\]

2. Bây giờ, theo tỉ lệ giữa ba điểm, ta có:
\[
AD \cdot AQ = AC \cdot AP.
\]

3. Điều này có thể chứng minh bằng cách sử dụng các đoạn thẳng và các tam giác vuông, trong đó các đoạn xảy ra với tính chất vuông góc và các tỉ số liên quan.

### c) ADPC là hình gì? Vì sao?

ADPC là một hình tứ giác. Để xác định chính xác tên gọi của hình tứ giác này, thì dựa vào tính chất của nó:

1. **Dựa vào hình học phẳng**: ADPC là tứ giác được tạo thành bởi các tiếp điểm và các điểm do đường tròn xác định.
2. **Chứng minh tính chất**: Dựa vào chứng minh ở trên, chúng ta biết rằng những đoạn thẳng này tạo thành các góc và các cạnh sẽ vuông góc với nhau.
3. Do đó, các phần đoạn có liên kết gọi tứ giác này là **hình chữ nhật** hoặc **hình thang vuông**, tùy thuộc vào vị trí của các điểm.

Hy vọng với hướng dẫn này, bạn có thể hiểu và giải bài tập này một cách dễ dàng.