Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

Để chứng minh các đẳng thức trong tam giác ABC có M, N, P là trung điểm của các cạnh, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa về vectơ và các tính chất của các trung điểm.

### a) Chứng minh
\[
\overrightarrow{AP} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AN} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
\]

**Giả sử các điểm có tọa độ:**

- \( A = (x_1, y_1) \)
- \( B = (x_2, y_2) \)
- \( C = (x_3, y_3) \)

**Tính các vectơ:**

- Tọa độ trung điểm M của BC:
\[
M = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)
\]

- Vectơ \( \overrightarrow{AP} \):
\[
\overrightarrow{AP} = P - A = \left( \frac{x_2 + x_3}{2} - x_1, \frac{y_2 + y_3}{2} - y_1 \right)
\]

- Vectơ \( \overrightarrow{BC} \):
\[
\overrightarrow{BC} = C - B = \left( x_3 - x_2, y_3 - y_2 \right)
\]

Tính \( \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \):
\[
\frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \left( \frac{x_3 - x_2}{2}, \frac{y_3 - y_2}{2} \right)
\]

Tính tổng \( \overrightarrow{AP} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \):
\[
\overrightarrow{AP} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \left( \frac{x_2 + x_3}{2} - x_1 + \frac{x_3 - x_2}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} - y_1 + \frac{y_3 - y_2}{2} \right)
\]

Sau khi đơn giản hóa,
\[
= \left( \frac{x_3}{2} - x_1 + \frac{x_3}{2}, \frac{y_3}{2} - y_1 + \frac{y_3}{2} \right) = \left( -x_1 + x_3, -y_1 + y_3 \right)
\]
\[
= \overrightarrow{AN}
\]

### b) Chứng minh
\[
\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{MP}
\]

**Tính các vectơ:**

- Vectơ \( \overrightarrow{BA} \):
\[
\overrightarrow{BA} = A - B = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)
\]

- Tính vectơ \( \overrightarrow{MP} \):
Tọa độ trung điểm P của AB:
\[
P = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]

Tính \( \overrightarrow{MP} \):
\[
\overrightarrow{MP} = P - M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} - \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} - \frac{y_2 + y_3}{2} \right)
\]
\[
= \left( \frac{x_1 - x_3}{2}, \frac{y_1 - y_3}{2} \right)
\]

Và \( 2 \overrightarrow{MP} \):
\[
2 \overrightarrow{MP} = (x_1 - x_3, y_1 - y_3)
\]

Tính tổng \( \overrightarrow{BC} + 2 \overrightarrow{MP} \):
\[
\overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{MP} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2) + (x_1 - x_3, y_1 - y_3)
\]
\[
= (x_1 - x_2, y_1 - y_2) = \overrightarrow{BA}
\]

### Kết luận
Từ các chứng minh nêu trên, ta đã hoàn thiện cả hai phần của bài toán theo đúng yêu cầu.