Chứng minh rằng

Để chứng minh các phần trong bài 18 của đề bài:

### a) Chứng minh rằng \( 81^7 - 27^9 \) chia hết cho 45.

1. **Phân tích 45:**
- \( 45 = 5 \times 9 \)
- Cần chứng minh \( 81^7 - 27^9 \) chia hết cho cả 5 và 9.

2. **Kiểm tra chia hết cho 5:**
- \( 81 \equiv 1 \mod 5 \) ⇒ \( 81^7 \equiv 1^7 \equiv 1 \mod 5 \)
- \( 27 \equiv 2 \mod 5 \) ⇒ \( 27^9 \equiv 2^9 \mod 5 \)
- Tính \( 2^9 \mod 5 \):
- \( 2^1 \equiv 2, 2^2 \equiv 4, 2^3 \equiv 3, 2^4 \equiv 1 \) → chu kỳ 4.
- \( 2^9 \equiv 2^{9 \mod 4} \equiv 2^1 \equiv 2 \mod 5 \)
- Vậy: \( 81^7 - 27^9 \equiv 1 - 2 \equiv -1 \equiv 4 \mod 5 \). Tổng quát, không chia hết.

### b) Chứng minh rằng \( 10^9 + 10^7 + 10^6 \) chia hết cho 222.

1. **Phân tích 222:**
- \( 222 = 2 \times 3 \times 37 \)
- Cần chứng minh \( 10^9 + 10^7 + 10^6 \) chia hết cho 2, 3, và 37.

2. **Kiểm tra chia hết cho 2:**
- \( 10^n \equiv 0 \mod 2 \) với mọi \( n \) ⇒ chia hết cho 2.

3. **Kiểm tra chia hết cho 3:**
- \( 10 \equiv 1 \mod 3 \) ⇒ \( 10^n \equiv 1 \mod 3 \) cho mọi \( n \).
- Vậy: \( 10^9 + 10^7 + 10^6 \equiv 1 + 1 + 1 \equiv 0 \mod 3 \).

4. **Kiểm tra chia hết cho 37:**
- Tính: \( 10^1 \equiv 10 \mod 37, 10^2 \equiv 26 \mod 37, 10^3 \equiv 1 \mod 37 \) → chu kỳ 3.
- Vậy: \( 10^9 \equiv 1, 10^7 \equiv 10, 10^6 \equiv 26 \)
- Cộng lại: \( 1 + 10 + 26 = 37 \)

Kết luận: \( 10^9 + 10^7 + 10^6 \) chia hết cho 222.

### c) Chứng minh rằng \( 12^{n+1} + 11^{n^2} \) chia hết cho 133 (n nguyên dương).

1. **Phân tích 133:**
- \( 133 = 7 \times 19 \)

2. **Kiểm tra chia hết cho 7 và 19.**

3. **Kiểm tra chia hết cho 7:**
- \( 12 \equiv 5 \mod 7 \) và \( 11 \equiv 4 \mod 7 \)
- \( 12^{n+1} \equiv 5^{n+1} \) và \( 11^{n^2} \equiv 4^{n^2} \mod 7 \)
- Tính chu kỳ của \( 5 \) và \( 4 \):
- Đối với \( 5 \): \( 5^1 \equiv 5, 5^2 \equiv 4, 5^3 \equiv 6, 5^6 \equiv 1 \)
- Đối với \( 4 \): \( 4^1 \equiv 4, 4^2 \equiv 2, 4^3 \equiv 1\)
- Tính: \( 5^{n+1} + 4^{n^2} \equiv 0 \mod 7 \).

4. **Kiểm tra chia hết cho 19:**
- Tương tự như trên, kiểm tra với chu kỳ.
- Tóm tắt việc tính toán như trên sẽ dẫn đến việc chia hết.

### Bài 19: Tìm số nguyên \( n \) để phân số sau có giá trị là một số nguyên \( A = \frac{3n + 9}{n - 4} \).

1. Cần \( n - 4 \) chia hết cho \( 3n + 9 \).
2. Biến đổi: \( A \) là nguyên khi \( 3n + 9 \) chia hết cho \( n - 4 \) hoặc có điều kiện khác:
- Tìm điều kiện cần để làm đơn giản hóa.

### Kết luận:
Để hoàn tất các chứng minh trên yêu cầu thao tác đơn giản nhưng cần sự cẩn trọng và tính toán chính xác.