Tính giá trị m + n. Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh

Để giải bài toán này, đầu tiên, chúng ta cần thiết lập các phương trình dựa trên thông tin đã cho.

1. **Số ngày công cần cho mỗi loại cây**:
- Ngô: 20 ngày công/ha, thu được 40 triệu đồng/ha.
- Đậu xanh: 30 ngày công/ha, thu được 50 triệu đồng/ha.

2. **Tổng diện tích đất**: 8 ha
- Gọi \( m \) là diện tích trồng ngô (ha)
- Gọi \( n \) là diện tích trồng đậu xanh (ha)
- Phương trình diện tích:
\[
m + n = 8
\]

3. **Tổng số ngày công**: Không quá 180 ngày công
- Công cần cho ngô: \( 20m \)
- Công cần cho đậu xanh: \( 30n \)
- Phương trình ngày công:
\[
20m + 30n \leq 180
\]

Chia cả hai vế cho 10 để đơn giản hóa:
\[
2m + 3n \leq 18
\]

4. **Mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận**:
- Lợi nhuận từ ngô: \( 40m \)
- Lợi nhuận từ đậu xanh: \( 50n \)
- Mục tiêu là tối đa hóa:
\[
P = 40m + 50n
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải hệ phương trình này. Ta có:

1. \( m + n = 8 \)
2. \( 2m + 3n \leq 18 \)

Từ phương trình 1, có thể biểu diễn \( n \) theo \( m \):
\[
n = 8 - m
\]

Thay vào phương trình 2:
\[
2m + 3(8 - m) \leq 18
\]

Giải bất phương trình:
\[
2m + 24 - 3m \leq 18
\]
\[
-m + 24 \leq 18
\]
\[
-m \leq -6
\]
\[
m \geq 6
\]

Từ đó, \( m \) có thể nhận giá trị là 6, 7 hoặc 8. Tương ứng với \( n \):
- Nếu \( m = 6 \): \( n = 8 - 6 = 2 \)
- Nếu \( m = 7 \): \( n = 8 - 7 = 1 \)
- Nếu \( m = 8 \): \( n = 8 - 8 = 0 \)

**Kiểm tra điều kiện công** cho từng trường hợp:
- Với \( m = 6 \), \( n = 2 \):
\[
2(6) + 3(2) = 12 + 6 = 18 \quad \text{(thỏa mãn)}
\]
- Với \( m = 7 \), \( n = 1 \):
\[
2(7) + 3(1) = 14 + 3 = 17 \quad \text{(thỏa mãn)}
\]
- Với \( m = 8 \), \( n = 0 \):
\[
2(8) + 3(0) = 16 + 0 = 16 \quad \text{(thỏa mãn)}
\]

Ta có thể thấy rằng việc trồng \( m = 6 \) và \( n = 2 \) sẽ cho lợi nhuận tối đa (40*6 + 50*2). Cuối cùng, để tính giá trị \( m + n \):

\[
m + n = 6 + 2 = 8
\]

Do đó, giá trị \( m + n \) là \( 8 \).