Để giải bài toán về tam giác vuông ABC và tứ giác ADME, ta làm theo các bước sau:

### a) Định nghĩa tứ giác ADME là hình gì?

1. **Tứ giác ADME có bốn đỉnh:** A, D, M, E.
2. **Tính chất của tam giác vuông:** Trong tam giác vuông ABC tại A, AM là trung tuyến từ A đến BC.
3. **Chứng minh rằng ADME là hình thoi hoặc hình chữ nhật:**
- Có thể sử dụng tính chất trung tuyến, đặc biệt là tính chất vuông góc giữa MD và ME.
- Chứng minh rằng hai đường chéo AD và ME cắt nhau tại M và vuông góc với nhau.

### b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông.

1. **Xác định các cạnh:**
- Để tứ giác ADME là hình vuông, cần có cả bốn cạnh AD, DM, ME và EA bằng nhau, cùng với các góc tại các đỉnh phải là 90 độ.

2. **Tính chất hình vuông:**
- Cần tìm điều kiện cho các đoạn thẳng AM, MD và ME sao cho:
- \( AD = DM = ME = AE \)
- Các góc: \( \angle ADM = \angle DME = \angle MEA = \angle EAD = 90^\circ \)

3. **Sử dụng hệ tọa độ và công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng:**
- Từ tọa độ điểm M, áp dụng công thức khoảng cách để thiết lập phương trình cho các đoạn thẳng và các điều kiện cần có.

### Kết luận
Với các bước trên, bạn có thể tìm được hình dạng của tứ giác ADME cũng như điều kiện của tam giác ABC để tứ giác này là hình vuông hay không. Cụ thể hóa sẽ phụ thuộc và lượng giác và đại số cụ thể của các điểm trong tam giác và tứ giác.