Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( C = x^2 + y^2 - xy - 2x - 3y + 12 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương hoặc phương pháp tính đạo hàm.

### Bước 1: Nhóm các hạng tử lại
Chúng ta có thể sắp xếp lại các hạng tử:

\[
C = x^2 - xy - 2x + y^2 - 3y + 12
\]

### Bước 2: Chia thành các phần
Chúng ta nhóm lại các điều kiện và tìm cách hoàn thành bình phương:

\[
C = (x^2 - xy - 2x) + (y^2 - 3y) + 12
\]

### Bước 3: Hoàn thành bình phương đối với \(x\)
Điều đầu tiên là hoàn thành bình phương cho phần liên quan đến \(x\):

\[
x^2 - xy - 2x = x^2 - (y + 2)x
\]

Sử dụng công thức hoàn thành bình phương:

\[
= \left(x - \frac{y + 2}{2}\right)^2 - \frac{(y + 2)^2}{4}
\]

### Bước 4: Hoàn thành bình phương đối với \(y\)
Giờ ta sẽ hoàn thành bình phương cho phần liên quan đến \(y\):

\[
y^2 - 3y = (y - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}
\]

### Bước 5: Kết hợp lại
Giờ ta thay vào biểu thức ban đầu:

\[
C = \left(x - \frac{y + 2}{2}\right)^2 - \frac{(y + 2)^2}{4} + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + 12
\]

### Bước 6: Đơn giản hóa
Tính tổng các hằng số:

\[
C = \left(x - \frac{y + 2}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 + 12 - \frac{(y + 2)^2}{4} - \frac{9}{4}
\]

Như vậy, chúng ta sẽ tìm tối ưu của các phần:

- \(C\) sẽ nhỏ nhất khi cả hai bình phương đều bằng không.

### Bước 7: Tìm nghiệm
Để có giá trị tối thiểu, các phần bình phương bằng không:

1. \(x - \frac{y + 2}{2} = 0 \implies x = \frac{y + 2}{2}\)
2. \(y - \frac{3}{2} = 0 \implies y = \frac{3}{2}\)

Thay \(y = \frac{3}{2}\) vào phương trình của \(x\):

\[
x = \frac{\frac{3}{2} + 2}{2} = \frac{\frac{7}{2}}{2} = \frac{7}{4}
\]

### Bước 8: Tính giá trị nhỏ nhất
Thay giá trị \(x = \frac{7}{4}\) và \(y = \frac{3}{2}\) vào \(C\):

\[
C = \left(\frac{7}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{7}{4} - 3 \cdot \frac{3}{2} + 12
\]
\[
= \frac{49}{16} + \frac{9}{4} - \frac{21}{8} - \frac{14}{4} - \frac{9}{2} + 12
\]

Tìm ra giá trị này sẽ cho ta giá trị nhỏ nhất của \(C\). Sau khi tính toán, giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên sẽ là:

\[
C_{\text{min}} = 6.75
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(C\) là

\[
\boxed{6.75}
\]