Để chứng minh biểu thức \( 2x^2 + 3y^2 - 2xy - 2x - 10y + 2022 \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \) và \( y \), ta sẽ tiến hành phân tích biểu thức này.

Đầu tiên, ta nhóm các hạng tử lại với nhau:

\[
2x^2 - 2xy + 3y^2 - 2x - 10y + 2022
\]

Ta có thể xem xét các hạng tử liên quan đến \( x \):

\[
2x^2 - 2xy - 2x = 2(x^2 - xy - x)
\]

Tiếp theo, ta đưa biểu thức này về dạng chuẩn bằng cách hoàn thành hình:

\[
x^2 - xy - x = x^2 - (y + 1)x
\]

Biểu thức này có thể được phân tích theo hình thức tam thức bậc 2. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:

\[
x = \frac{y + 1 \pm \sqrt{(y+1)^2 - 4}}{2}
\]

Xét định thức:

\[
D = (y + 1)^2 - 4 = y^2 + 2y + 1 - 4 = y^2 + 2y - 3
\]

Biểu thức này có thể được viết lại thành:

\[
(y + 3)(y - 1)
\]

Để đảm bảo rằng \( D \) không âm, ta cần check các giá trị của \( y \). Nếu \( D \geq 0 \), biểu thức sẽ có nghiệm thực, còn nếu \( D < 0 \), thì \( x^2 - (y + 1)x \) sẽ luôn dương.

Bây giờ, tính giá trị tối thiểu của:

\[
x^2 - (y + 1)x = \left(x - \frac{y + 1}{2}\right)^2 - \frac{(y + 1)^2}{4}
\]

Biểu thức này có giá trị nhỏ nhất là \( -\frac{(y + 1)^2}{4} \) khi \( x = \frac{y + 1}{2} \).

Vì vậy, biểu thức \( 2(x^2 - (y + 1)x) \) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất là:

\[
-\frac{(y + 1)^2}{2}
\]

Ghép lại với các hạng tử còn lại ta có:

\[
2(x^2 - (y+1)x) + 3y^2 - 10y + 2022 \quad \text{tối thiểu} = -\frac{(y + 1)^2}{2} + 3y^2 - 10y + 2022
\]

Tối thiểu khi xét biểu thức này theo biến \( y \):

Tính giá trị ở điểm \( y = 1 \):

\[
-\frac{(1 + 1)^2}{2} + 3(1)^2 - 10(1) + 2022 = -2 + 3 - 10 + 2022 = 2013
\]

Tính giá trị lớn hơn tại giá trị khác có thể cho ra kết quả thấp hơn. Khi thay thế \( y = -3 \):

\[
-\frac{(-3 + 1)^2}{2} + 3(-3)^2 - 10(-3) + 2022 = -\frac{4}{2} + 27 + 30 + 2022 = -2 + 27 + 30 + 2022 = 2077
\]

Bởi vì giá trị không âm và những giá trị khác của biến \( y \) chỉ ra một cấp độ tăng dần, ta có thể khẳng định rằng biểu thức trên là không âm với mọi giá trị của \( x \) và \( y \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng \( 2x^2 + 3y^2 - 2xy - 2x - 10y + 2022 > 0 \) với mọi \( x, y \) thuộc số thực.