Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM (M thuộc BC). Kẻ MD và ME vuông góc với AB và AC

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng yêu cầu một:

### a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Tứ giác ADME có 4 điểm: A, D, M, E.

- **D** là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho MD vuông góc với AB.
- **E** là điểm trên đoạn thẳng AC sao cho ME vuông góc với AC.
- **M** là trung điểm của BC.

Tứ giác ADME sẽ là hình chữ nhật nếu AD và ME vuông góc với nhau và AM là cạnh chung của hai tam giác vuông ADM và AEM.

Khi đó, vì M là trung điểm của BC nên AM cũng sẽ là chiều cao từ A xuống BC, tạo thành hai tam giác vuông tại A, và bởi vì MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC, nên ADME sẽ là hình chữ nhật.

### b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông.

Để tứ giác ADME là hình vuông, các cạnh AD, DM, ME, và AE phải đều dài bằng nhau và tất cả các góc phải là 90 độ.

- Điều kiện cần là đoạn MD = ME và đoạn AD = AE.
- Điều này xảy ra khi góc A là 45 độ, khiến cho hai đoạn MD và ME có độ dài bằng nhau.

Tổng quát, điều kiện để tứ giác ADME là hình vuông là \( \angle A = 45^\circ \) và \( AB = AC \) (tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A).