Để tìm các số nguyên \(x\) sao cho \(3x + 5\) chia hết cho \(x + 1\), ta có thể viết điều kiện này như sau:

\[
3x + 5 \equiv 0 \ (\text{mod} \ (x + 1))
\]

Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên \(k\) sao cho:

\[
3x + 5 = k(x + 1)
\]

Ta sẽ sắp xếp lại phương trình:

\[
3x + 5 = kx + k
\]

Rồi chuyển tất cả về một bên:

\[
3x - kx + 5 - k = 0
\]

Rút gọn:

\[
(3 - k)x + (5 - k) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm nguyên, ta phải có:

\[
(3 - k)x = k - 5
\]

Do \(x\) là số nguyên, \(3 - k\) và \(k - 5\) phải được chia hết cho nhau. Ta sẽ xem xét các trường hợp của \(k\).

1. **Trường hợp \(k = 3\)**:

\((3 - k) = 0\) nên có vô số nghiệm. Ta không xét trường hợp này.

2. **Trường hợp \(k = 4\)**:

\[
(3 - 4)x + (5 - 4) = 0 \Rightarrow -x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1
\]

3. **Trường hợp \(k = 2\)**:

\[
(3 - 2)x + (5 - 2) = 0 \Rightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3
\]

4. **Trường hợp \(k = 1\)**:

\[
(3 - 1)x + (5 - 1) = 0 \Rightarrow 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2
\]

5. **Trường hợp \(k = 0\)**:

\[
(3 - 0)x + (5 - 0) = 0 \Rightarrow 3x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{3} \text{ (không phải là nguyên)}
\]

Giải đến đây ta thu được 3 nghiệm nguyên:

\[
x = 1, x = -2, x = -3
\]

Vậy các số nguyên \(x\) thỏa mãn điều kiện là:

\[
\boxed{1, -2, -3}
\]