Cho góc xOy nhọn, A thuộc Ox, B thuộc Oy sao cho OA = OB. Qua A vẽ đoạn thẳng vuông góc Ox cắt Oy ở M

### Bài 1
Cho góc \(xOy\) nhọn, điểm \(A\) thuộc trục \(Ox\) và điểm \(B\) thuộc trục \(Oy\) sao cho \(OA = OB\). Gọi \(OA = OB = a\).

#### a) Chứng minh: \(OM = ON\)

- Gọi tọa độ của các điểm như sau: \(O(0, 0)\), \(A(a, 0)\), \(B(0, a)\).
- Từ điểm \(A\) vẽ đoạn thẳng vuông góc với trục \(Ox\), cắt trục \(Oy\) tại điểm \(M(0, a)\).
- Từ điểm \(B\) vẽ đoạn thẳng vuông góc với trục \(Oy\), cắt trục \(Ox\) tại điểm \(N(a, 0)\).

Ta có:
- Độ dài đoạn thẳng \(OM\) chính là khoảng cách từ điểm \(O(0, 0)\) đến \(M(0, a)\):
\[
OM = |0 - 0| + |0 - a| = |a| = a
\]

- Tương tự, độ dài đoạn thẳng \(ON\) là:
\[
ON = |0 - a| + |0 - 0| = |a| = a
\]

Do đó, ta có \(OM = ON\).

#### b) Chứng minh: Tam giác \(AIN \sim\) tam giác \(BIM\)

- Lưu ý rằng:
- \(AM\) và \(BI\) cắt nhau tại \(I\) (một điểm giao nhau).
- Ghi chú: Kí hiệu góc:
- \(\angle AIN\): góc tại điểm \(I\) của tam giác \(AIN\) (góc giữa \(AI\) và \(IN\)).
- \(\angle BIM\): góc tại điểm \(I\) của tam giác \(BIM\) (góc giữa \(BI\) và \(IM\)).

- Do \(AM\) vuông góc với \(Ox\) và \(BI\) vuông góc với \(Oy\), ta có thể nói rằng:
\[
\angle AIN = \angle BIM = 90^\circ
\]
- Hơn nữa, các cạnh \(AI\) và \(BI\) cũng sẽ tương ứng với các cạnh góc vuông trong hai tam giác này.

Do đó, tam giác \(AIN \sim BIM\) theo tiêu chuẩn góc-góc (góc vuông và cùng một góc).

#### c) Chứng minh: \(AB \| MN\)

- Dễ dàng nhận thấy rằng vì \(A\) nằm trên trục \(Ox\) và \(B\) nằm trên trục \(Oy\), nên đường thẳng \(AB\) là đường chéo trong tam giác \(OAB\).
- Còn đường thẳng \(MN\) vuông góc với \(OA\) và \(OB\), nên do đó, \(AB\) sẽ song song với \(MN\).

#### d) \(E\) là trung điểm của \(MN\). Chứng minh: \(O, I, E\) thẳng hàng

- Gọi tọa độ của \(M(0, a)\) và \(N(a, 0)\).
- Trung điểm \(E\) tọa độ là:
\[
E\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{a + 0}{2}\right) = E\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)
\]
- Dễ thấy rằng điểm \(I\) cũng nằm trên đường thẳng nối giữa \(O\) và \(E\) nếu xác định tọa độ đúng.

### Bài 2
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(N\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia đối \(MA\), lấy \(N\) sao cho \(MA = MN\).

#### a) Chứng minh: \(AB = AC\) và \(NC \perp AC\)

- Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(N\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra:
\[
N = \left( \frac{B_x + C_x}{2}, \frac{B_y + C_y}{2} \right)
\]
- Nếu \(MA = AN\), do đó ta có:
- \(AB = AC\) dễ dàng suy ra từ tính chất của tam giác vuông cân (do trung tuyến là đường thẳng vuông góc và chia đều cạnh đối diện).
- \(NC\) vuông góc với \(AC\) từ tính chất vuông góc của hai cạnh.

#### b) Chứng minh: \(AM = \frac{1}{2} BC\)

- Từ tính chất của tam giác vuông, cạnh huyền \(BC\) là lớn nhất và \(N\) là trung điểm, suy ra \(AM = \frac{1}{2} BC\) vì:
\[
AN = \frac{1}{2} BC \implies AM = AN
\]

Từ hai b bài này có thể suy ra mối quan hệ.