Để chứng minh \( EF \parallel BC \), ta sẽ sử dụng định lý về các đoạn thẳng song song và các tỉ số của các đoạn trong tam giác.

**Bước 1:** Đặt hệ tọa độ cho các điểm.

Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(c, h) \), \( D \) là trung điểm của \( BC \). Với \( D \), tọa độ sẽ là:
\[
D\left(\frac{b+c}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]
Điểm \( M \) nằm trên đoạn \( AD \), nên tọa độ của \( M \) có thể viết là:
\[
M = (1-k) A + k D = (1-k)(0,0) + k\left(\frac{b+c}{2}, \frac{h}{2}\right) = \left(\frac{k(b+c)}{2}, \frac{kh}{2}\right)
\]
với \( k \in [0, 1] \).

**Bước 2:** Tìm tọa độ của điểm \( N \).

Điểm \( N \) nằm trên tia đối của tia \( DM \) sao cho \( DN = DM \). Tọa độ điểm \( N \) tính như sau:
\[
N = D + (D - M) = \left(\frac{b+c}{2}, \frac{h}{2}\right) + \left(\frac{b+c}{2} - \frac{k(b+c)}{2}, \frac{h}{2} - \frac{kh}{2}\right)
\]
\[
= \left(\frac{b+c}{2} + \frac{(1-k)(b+c)}{2}, \frac{h}{2} + \frac{(1-k)h}{2}\right) = \left(\frac{(1+k)(b+c)}{2}, \frac{(1+k)h}{2}\right)
\]

**Bước 3:** Tìm các điểm giao nhau.

- **Điểm E:** \( BM \) cắt \( AC \).
- **Điểm F:** \( CM \) cắt \( AB \).

**Bước 4:** Chứng minh tỉ số đoạn thẳng.

Sử dụng định lý Thales, ta có các tỉ lệ sau:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \quad \text{và} \quad \frac{AF}{FB} = \frac{AC}{BC}
\]

**Bước 5:** Sử dụng tính đồng dạng.

Từ đó, do \( EF \) cắt các cạnh \( AC \) và \( AB \) nên theo định lý Thales:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AF}{FB} \implies EF \parallel BC
\]

Do đó, chúng ta có thể khẳng định rằng \( EF \parallel BC \).

Bằng cách áp dụng các tỉ số trên, ta đảm bảo rằng khi \( N \) nằm trên tia đối của \( DM \), mọi tỉ số của đoạn thẳng vẫn giữ nguyên điều này đảm bảo rằng \( EF \) song song với \( BC \).

Kết luận: \( EF \parallel BC \).