Cho tam giác ABC cân tại A và tia phân giác góc A cắt BC ở H

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh tam giác \( ABH = AHC \)
1. Do tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), ta có \( AB = AC \).
2. Tia phân giác của góc \( A \) chia góc \( A \) thành hai góc bằng nhau, tức là \( \angle ABH = \angle ACH \).
3. Hai cạnh \( AB \) và \( AC \) bằng nhau, nên ta có:
- \( AB = AC \)
- \( \angle ABH = \angle ACH \)
4. Theo tiêu chuẩn của tam giác (cạnh - góc - cạnh), ta có:
\[
\triangle ABH \cong \triangle AHC
\]
Vậy, từ đó suy ra \( \triangle ABH = \triangle AHC \).

### b) Vẽ \( HD \) vuông góc \( AB \) (D là 1 điểm trên \( AB \)) và \( HE \) vuông góc \( AC \) (E là 1 điểm trên \( AC \)).
1. Do \( H \) là giao điểm của tia phân giác và cạnh \( BC \), ta có \( EH \perp AC \) và \( DH \perp AB \).
2. Vì \( AE = AH \) và \( AD = AH \) (do tính chất của phân giác), ta có:
\[
\triangle ADE \text{ là tam giác cân.}
\]

### c) Trên tia đối của tia \( DH \), lấy điểm \( M \) sao cho \( DM = DH \), trên tia đối của tia \( EH \) lấy điểm \( N \) sao cho \( EN = EH \).
1. \( DM = DH \) và \( EN = EH \) dẫn đến hai đoạn thẳng này đều bằng nhau.
2. Mà \( AM = AH + DM \) và \( AN = AH + EN \).
3. Ta có:
\[
AM = AN
\]
do đó \( MN \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( AB \).

### Kết luận:
Bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác cân và một số tiệm cận hình học cơ bản, ta đã chứng minh được các phần trong bài toán. Nếu cần thêm chỉ dẫn hoặc diễn giải chi tiết về bất kỳ bước nào, bạn có thể hỏi thêm!