Để chứng minh tam giác \( ABC \) đồng dạng với tam giác \( EFC \) và các tính chất khác trong bài toán, ta sẽ tiến hành theo từng phần.

### a) Chứng minh tam giác \( ABC \) đồng dạng với tam giác \( EFC \)

1. **Xác định các đường cao**: Gọi điểm \( H \) là giao điểm của hai đường cao \( AE \) và \( BF \) trong tam giác \( ABC \).

2. **Xét các góc**:
- Ta có \( \angle AHB = 90^\circ \) (do \( AE \) là đường cao).
- Tương tự, \( \angle AHF = 90^\circ \) (do \( BF \) là đường cao).

3. **Liên hệ giữa các góc**:
- Ta có \( \angle AHB = \angle AHF = 90^\circ \).
- Gọi \( \alpha = \angle ABC \) và \( \beta = \angle ACB \).
- Như vậy \( \angle BAE = \alpha \) và \( \angle CAF = \beta \).

4. **Sử dụng kí hiệu**:
- Ta có: \( \angle ABC = \angle EHC \) và \( \angle ACB = \angle FHC \).

5. **Kết luận**:
- Sử dụng tiêu chí đồng dạng (AA), ta có \( \triangle ABC \sim \triangle EFC \).

### b) Chứng minh \( NC = ND \) và \( HI = HK \)

1. **Xét đường thẳng qua điểm \( C \)**: Kẻ đường thẳng \( B \) song song với đường thẳng \( IK \) và cắt \( AH \), \( AB \) tại \( N \) và \( D \).

2. **Sử dụng tính chất của hình thang**:
- Do \( B \parallel IK \) nên theo tính chất đường thẳng song song, ta có:
\[
\frac{AN}{AD} = \frac{AC}{AB} \quad \text{(tính chất góc đồng vị)}
\]

3. **Chứng minh \( NC = ND \)**:
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta suy ra \( NC = ND \).

4. **Chứng minh \( HI = HK \)**:
- Tương tự, vì \( H \) là trung điểm của \( AI \) và \( IK \) là đường vuông góc, nên \( HI = HK \).

### Kết luận

Ta đã chứng minh xong các yêu cầu trong bài toán:
- Tam giác \( ABC \) đồng dạng với tam giác \( EFC \).
- Các đoạn thẳng \( NC = ND \) và \( HI = HK \).

Nếu có thêm điểm nào cần làm rõ, hãy cho mình biết nhé!