Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào có thể được tính theo \[ g(t) = \frac{-t^2 + 5t - 3}{t + 1} \] . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân là nhất?

Để tìm thời điểm mà nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân là lớn nhất, chúng ta cần tìm cực trị của hàm số \( g(t) = \frac{-t^2 + 5t - 3}{t + 1} \).

### Bước 1: Tính đạo hàm

Sử dụng quy tắc đạo hàm cho thương số:

\[
g'(t) = \frac{(u'v - uv')}{v^2}
\]

Trong đó:
- \( u = -t^2 + 5t - 3 \) và \( u' = -2t + 5 \)
- \( v = t + 1 \) và \( v' = 1 \)

Tính đạo hàm:

\[
g'(t) = \frac{((-2t + 5)(t + 1)) - (-t^2 + 5t - 3)(1)}{(t + 1)^2}
\]

### Bước 2: Tìm nghiệm của \( g'(t) = 0 \)

Tính toán \( g'(t) = 0 \):

\[
(-2t + 5)(t + 1) - (-t^2 + 5t - 3) = 0
\]

Giải phương trình này để tìm giá trị của \( t \).

### Bước 3: Xét dấu của đạo hàm

Sau khi có nghiệm, ta sẽ kiểm tra giá trị của đạo hàm \( g'(t) \) xung quanh nghiệm đó để xác định đó là cực đại hay cực tiểu.

### Kết luận

Bạn sẽ cần làm thêm bước tính toán để tìm nghiệm cụ thể cho \( t \) và xác định thời điểm cụ thể mà nồng độ thuốc đạt cực đại.