Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Giả sử điểm M thuộc AC, điểm N thuộc DC' và AM = xAC, DN = yDC', đặt BA = a, BC = b, BB' = c. Có một cặp (x; y) sao cho MN // BD', khi đó tính biểu thức T = x + y

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học liên quan đến hình hộp chữ nhật.

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử điểm A có tọa độ (0, 0, 0), B (a, 0, 0), C (a, b, 0), D (0, b, 0).
- Điểm A' sẽ có tọa độ (0, 0, c), B' (a, 0, c), C' (a, b, c), D' (0, b, c).
- Điểm M trên AC có tọa độ:
\[
M = (0, y \cdot b, 0)
\] với \( y = \frac{AC}{x} \).
- Điểm N trên DC' có tọa độ:
\[
N = (0, b, y \cdot c)
\]

2. **Tính vector MN:**
\[
MN = N - M = (0, b - y \cdot b, y \cdot c)
\]
\( MN = (0, (1 - y)b, yc) \)

3. **Tính vector BD':**
\[
BD' = D' - B = (0, b, c) - (a, 0, c) = (-a, b, 0)
\]

4. **Điều kiện để MN // BD':**
- Hai vector MN và BD' sẽ song song nếu tỷ lệ giữa các thành phần của chúng bằng nhau. Do đó, ta có tỷ lệ:
\[
\frac{0}{-a} = \frac{(1 - y)b}{b} = \frac{yc}{0}
\]
Hoặc nói khác: cả vector MN và BD' đều không có thành phần z khác không. Gợi ý điều này cho thấy cần thiết phải tính tỉ lệ giữa 1-y và y.

5. **Tính biểu thức cần tìm T = x + y:**
- Từ điều kiện tỷ lệ trên, có thể viết ra hệ phương trình về x và y sao cho \( x + y \) đạt được giá trị mong muốn.

Cuối cùng, giá trị của \( T = x + y \) sẽ phụ thuộc vào các hệ số cho trước a, b, c. Để xác định \( x \) và \( y \), ta cần thêm thông tin hoặc tính toán dựa trên tỉ lệ phân chia mà bạn đã cung cấp trong bài toán.